Boole, algèbre de - mathématiques.

Boole, algèbre de - mathématiques. 1 PRÉSENTATION Boole, algèbre de, branche des mathématiques dont les lois et les propriétés sont analogues à celles de l'algèbre classique. L'algèbre de Boole est très utilisée dans les domaines de la logique et de la théorie des ensembles. En effet, elle s'intéresse davantage à des propositions et à leurs valeurs de vérité, qu'à des variables auxquelles on attribue des valeurs numériques. Cette notion fut développée par George Boole dès 1847. 2 DÉFINITIONS 2.1 Définition formelle D'un point de vue formel, une algèbre de Boole est définie par la donnée d'un ensemble, que l'on peut appeler B, auquel on associe deux opérations binaires, notées Å et Ä. L'algèbre ainsi constituée vérifie par définition le système d'axiomes suivant : 1. Å et Ä sont deux opérations commutatives. Quels que soient x et y, éléments de B, on a : x Å y = y Å x et x Ä y = y Ä x 2. Chacune des opérations Å et Ä est distributive par rapport à l'autre. Pour trois éléments quelconques x, y, et z de B, on a donc : x Å (y Ä z) = (x Å y) Ä (x Å z) et x Ä (y Å z) = (x Ä y) Å (x Ä z) 3. Chacune des opérations Å et Ä possède un élément neutre pris dans B. Généralement notés 0 et 1, ils sont tels que 0 ? 1 et vérifient pour tout élément x de B : 0 Å x = x et 1 Ä x = x 4. À tout élément x de B, on associe un élément appelé complément de x, et généralement noté x'. Il vérifie les relations : x Å x' = 1 et x Ä x' = 0 Tout système d'axiomes équivalent définit une algèbre de Boole. Les symboles +, Ú ou È sont parfois utilisés à la place du symbole Å, tandis que les symboles ×, ^, Ç ou ° peuvent remplacer le symbole Ä. 2.2 Théorie originelle de Boole Les éléments de l'ensemble B d'une algèbre de Boole peuvent être des éléments abstraits ou concrets, tels que des nombres, des propositions, des ensembles ou même des circuits électriques. Dans la théorie originelle de George Boole, les éléments sont des propositions ou des phrases affirmatives simples ayant la propriété d'être soit vraies, soit fausses, mais jamais les deux simultanément. Les opérations sont généralement des conjonctions et des disjonctions, notées respectivement ^ et Ú. Si x et y représentent deux propositions, l'expression x Ú y (lire « x ou y «) est vraie si et seulement si l'une au moins des propositions (x ou y) est vraie. L'assertion x ^ y (lire « x et y «) est vraie si et seulement si les deux propositions (x et y) sont vraies. Dans ce type d'algèbre de Boole, le complément d'un élément x est simplement la négation de la proposition, soit x' = non x. 3 EXEMPLE FONDAMENTAL Muni des opérations d'union (È) et d'intersection (Ç), l'ensemble P(X) des parties d'un ensemble X constitue une algèbre de Boole. Les éléments neutres pour (È) et (Ç) sont respectivement l'ensemble vide, noté Æ, et l'ensemble X tout entier. On définit donc le complément d'une partie Y de X comme la partie Y' vérifiant : Y È Y' = X et Y Ç Y' = Æ Y' est aussi appelé ensemble complémentaire de Y. En fait, toute algèbre de Boole peut être considérée comme une algèbre d'ensembles (voir ensembles, théorie des). 4 PROPRIÉTÉS Grâce à la symétrie des axiomes relatifs aux deux opérations et à leurs éléments neutres, on peut prouver le principe dit de dualité : toute propriété algébrique déduite des axiomes ci-dessus reste vraie si on intervertit les opérations Å et Ä, et les éléments neutres 1 et 0. Parmi les nombreux théorèmes qui peuvent être déduits des axiomes de l'algèbre de Boole, les lois de De Morgan sont particulièrement remarquables : pour tout couple d'éléments x et y de B, (x Å y)' = x' Ä y' et (x Ä y)' = x' Å y' On remarque qu'on passe d'une loi à l'autre en appliquant le principe de dualité. 5 APPLICATION AUX CIRCUITS ÉLECTRIQUES Les algèbres de Boole ont de nombreuses applications pratiques en physique, notamment en informatique et en électronique. Par exemple, la théorie des circuits électriques s'appuie sur une algèbre de Boole. Considérons deux propositions p et q. Elles sont soit vraies soit fausses, mais ne peuvent être vraies et fausses simultanément. Chacune des propositions p et q peut être associée à un interrupteur. Ce dernier est fermé si la proposition est vraie, et ouvert si la proposition est fausse. À un ensemble de propositions liées par des opérations (formule), on peut donc associer un circuit électrique. La formule est vraie si le courant passe dans le circuit, fausse si le courant ne passe pas. Ainsi, la formule p ^ q équivaut à un circuit où les deux interrupteurs sont montés en série. Le courant passe dans le circuit si et seulement si les deux interrupteurs sont fermés, c'est-à-dire si p et q sont toutes les deux vraies. De même, l'affirmation p Ú q équivaut à un circuit où les deux interrupteurs sont montés en parallèle. Le courant passe dans le circuit si l'une ou l'autre des affirmations ou les deux sont vraies, c'est-à-dire si les interrupteurs correspondants sont fermés. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.