quadratiques, équations - mathématiques.

quadratiques, équations - mathématiques. 1 PRÉSENTATION quadratiques, équations, équations algébriques de degré 2. L'équation générale est de la forme : où a, b et c sont des constantes, et a ? 0. Résoudre cette équation consiste à trouver ses racines, c'est-à-dire les valeurs de x qui vérifient la formule (1). Si ax2 + bx + c peut être factorisé sous la forme : a(x - u)(x - v), où u et v sont des constantes, alors u et v sont les racines de cette équation. Dans l'exemple : on peut écrire : 2x2 + 2x - 4 = 2(x2 + x - 2) = 2(x - 1)(x + 2) Par conséquent, les racines de (2) sont u = 1 et v = - 2. 2 TECHNIQUE DE RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ On peut également utiliser la formule générale : pour résoudre l'équation (1). Si le terme b2 - 4ac, appelé déterminant, est supérieur à 0, alors l'équation (1) possède deux solutions distinctes : Dans l'exemple (2), a = 2, b = 2 et c = - 4. La formule (3) donne alors les solutions : De même, l'équation x2 - x - 1 = 0 a pour solutions : Si b2 - 4ac = 0, l'équation du second degré possède une seule solution : Par exemple, x2 - 2x + 1 = 0 a une solution x = 1, correspondant à la factorisation : x2 - 2x + 1 = (x - 1)2Si b2 - 4ac < 0, alors l'équation (1) n'a pas de solution réelle (voir nombres), car dans l'ensemble des nombres réels, la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie. En revanche, cette équation a deux solutions données par la formule (3) dans l'ensemble des nombres complexes. Par exemple, l'équation x2 - 2x + 2 = 0 a pour solutions : où i est le nombre imaginaire dont le carré est égal à - 1. La formule (3) peut se démontrer en « complétant le carré «. Puisque : les solutions de l'équation (1) sont les valeurs de x telles que : (2ax + b)2 = b2 - 4ac c'est-à-dire : ou encore : 3 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE D'un point de vue géométrique, les racines de l'équation du second degré (1), lorsqu'elles sont réelles, représentent les abscisses des points d'intersection de la parabole ayant pour graphe y = ax2 + bx + c avec l'axe des abscisses. Selon que b2 - 4ac est positif, nul ou négatif, il existe deux, un ou aucun point d'intersection. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.