complexes (nombres).

complexes (nombres). dans l'enseignement primaire, on entend par nombres complexes les mesures des angles en degrés, minutes et secondes, et les mesures des durées en jours, heures, minutes et secondes. En mathématiques, les nombres complexes sont les nombres de la forme a .1 + b .i, où i est l'une des solutions de l'équation x2 + 1 = 0. Précisément, on appelle « corps des nombres complexes « l'ensemble des couples (a, b) de réels muni d'une addition et d'une multiplication ainsi définie : la somme des couples (a, b) et (a', b') est le couple (a + a', b + b'). Et le produit de ces couples est (aa' - bb', ab' + ba'). Dans ces conditions, u2 est muni d'une structure de corps commutatif. L'élément unité est le couple (1, 0). On peut identifier le nombre réel a au couple (a, 0). Le corps des nombres réels apparaît alors comme un sous-corps de u2. Le carré de (0, 1), égal à (-1, 0), se confond alors avec le nombre réel -1. Le couple (0, 1) se note i. L'élément z = (a, b) de u2 s'écrit dans ces conditions a + bi (forme algébrique de z, dite encore forme cartésienne). Le corps u2 s'appelle corps des nombres complexes, et se note r. Les règles de calcul dans le corps r sont les mêmes que pour les nombres réels, à cela près qu'on remplace i2 par -1 dans toutes ses occurrences. Ainsi : (a + bi) + (a' + b'i) = a + a' + (b + b')i (a + bi)(a' + b'i) = aa' - bb' + (ab' + ba')i. Le nombre réel a s'appelle partie réelle du nombre complexe z = a + bi et se note Re (z) ; le nombre réel b s'appelle partie imaginaire de z et se note Im ( z). Les nombres complexes de partie réelle nulle sont dits imaginaires purs, en souvenir de l'époque où les nombres complexes étaient dits imaginaires. Ils ont été introduits, au XVIe siècle, dans le cadre de la résolution des équations du troisième degré ; ainsi la formule de Cardan donnait les solutions réelles d'une équation de troisième degré, mais à condition d'accepter d'intégrer dans les calculs un nombre (solution de x 2 = - 1, et noté ä (-1)) qui en disparaissait à la fin. On démontra ensuite que toute équation de degré n a exactement n solutions réelles ou complexes ( voir algèbre). Ainsi, dans r, toute équation du deuxième degré admet deux solutions. Module d'un nombre complexe. Le nombre complexe a - bi s'appelle conjugué du nombre complexe z = a + bi et se note l (lire z barre). Le conjugué de l n'est autre que z. La somme et le produit de deux nombres complexes conjugués sont des nombres réels : z + l = 2a zl = a2 + b2. Ce dernier nombre, étant positif, admet une racine carrée (dans u). Cette racine carrée s'appelle module de z et se note z . Les propriétés du module généralisent celles de la valeur absolue sur u (ce qui justifie l'emploi de la même notation). Ainsi, le module de z est nul si et seulement si z = 0 . Le module d'un produit est le produit des modules des facteurs : zz' = z z' . Le module d'une somme est inférieur à la somme des modules : z + z' £ z + z'. Argument d'un nombre complexe et notation exponentielle. Soit u un nombre complexe de module 1. On peut représenter u par un point M du cercle trigonométrique. On appelle argument de u une mesure en radians de l'angle (. , ). On a évidemment : u = cos Z + i sin Z, où Z désigne un argument de u. Le nombre u se note encore e iZ (lire « e puissance i têta «), et pour tout couple ( Z, Z') de nombres réels, e iZ eiZ' = e i(Z+Z').Pour tout nombre réel Z et pour tout entier rationnel n, (eiZ )n = eniZ. Autrement dit : (cos Z + i sin Z)n = cos nZ + i sin nZ. C'est la formule de Moivre. Si Z est l'argument de z et " son module, on a : z = "eiZ, et alors : "eiZ "'eiZ' = ""'ei(Z+Z'). Représentation géométrique des nombres complexes. Considérons un plan euclidien muni d'un repère orthonormal. Le nombre complexe z = a + bi peut être représenté par le point M de coordonnées (a, b). Le point M est appelé image de z. Réciproquement, pour tout point M du plan, il existe un nombre complexe z et un seul ayant M pour image ; ce nombre complexe est appelé affixe du point M. Deux nombres complexes opposés sont représentés par deux points symétriques par rapport à O ; deux nombres complexes conjugués sont représentés par deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Les n solutions de l'équation xn = 1 sont les n nombres e k.2iY/n; pour k = 0, 1, 2, ... n - 1 ; ce sont les n racines n-ièmes de l'unité dont les images sont situées au sommet d'un polygone régulier à n côtés sur le cercle unité. Parmi celles-ci figure toujours la racine réelle x = 1 (k = 0). Si n est impair, il n'y a pas d'autres racines réelles (exemple, ci-après, avec n = 3 ). Si n est pair, il existe une seconde racine réelle x = -1 correspondant à k = n/2 (exemple, ci-après, avec n = 4). Les racines carrées de z = "eiZ sont les deux nombres complexes opposés : " eiZ/2 et -ä" eiZ/2. Voir, ci-dessous, l'exemple de x = 1 + i = ä 2 eiY/4. Les n racines n-ièmes de z = "eiZ (pour n > 2) sont représentées par les n s ommets d'un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon å ", l'un des sommets ayant pour argument Z/n. L'ensemble des nombres complexes peut être mis en bijection avec l'ensemble des similitudes de centre O de rapport positif : ainsi le nombre "eiZ est-il associé à la similitude de centre O, d'angle Z, de rapport ". De plus, cette bijection est un morphisme : elle transporte la multiplication des complexes sur la composition des similitudes. Plus précisément, multiplier un nombre complexe par z , c 'est transformer son image par la similitude associée à z ; par exemple, multiplier par 1 + i, c'est transformer l'image d'un nombre complexe par la similitude de centre 0 d'angle Y/4 et de rapport ä 2 ; et multiplier un nombre complexe par i, c'est faire tourner son image de Y/2. Plus généralement, multiplier un nombre complexe par un nombre de module unité, c'est transformer son image par la rotation d'angle égal à l'argument du multiplicateur. Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats algèbre Cardan (Gerolamo Cardano, dit en français Jérôme) complet (espace) conjugué imaginaire (nombre) nombre - 1.MATHÉMATIQUES quaternion racine - 3.MATHÉMATIQUES réel (nombre) sciences (histoire des) - La lumière - Les nombres complexes