PENDULE ÉLASTIQUE HORIZONTAL
Publié le 10/12/2011
Extrait du document
Le pendule élastique horizontal non amorti est un exemple d'oscillateur harmonique.
DESCRIPTION- ÉQUATION DU MOUVEMENT
Le pendule élastique horizontal non amorti est constitué par un ressort de masse négligeable coulissant sans -frottement le long d'une tige horizontale AB et d'un solide (S) de masse m coulissant sans frottement le long de AB. L'une des extrémités du ressort est fixée en A, l'autre au solide (S).
«
C'est l'équation différentielle caractéristique d'un oscillateur harmoni que·· dont la solution est x = Xm cos (w0t + q>) avec,
w o = ~ pulsation propre.
T o = 21r ..Jf période propre.
No = fo fré
quence propre de l'oscillateur.
L'adjectif "propre» rappelle qu'il s'agit d'oscillations non forcées.
Cas
particulier : supposons que l'on libère le solide à l'instant t = 0 : pour t = 0, x = Xm et cos cp = 1, d 'où cp = 0 (mod.
21T) .
L'équation horaire s'écrit: X = Xm COS Wot
312.2.
CONSERVATION DE L'ÉNERGIE
Vérifions que l'énergie mécanique•• E du pendule se conserve.
L'énergie
mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle
élastique:• :
E
= ~ mv 2 + ~ kx2 avec x = Xm cos (wot + cp) et v = x = - Wo Xm sin (wot + cp)
d'où : E = ~ m w~ X~ sin• (wot + cp) + ~ kX~ cos 2 (wot + cp).
Mais, m~ = k, donc :
E
= ~ kX~ [sin• (wot + cp) + cos• (wot + cp)], d'où :
E- !kx• - 2 m
L'énergie mécanique est proportionnelle au carré de l'amplitude et elle se conserve: il y a transformation mutuelle d'énergie cinétique en énergie potentielle et réciproquement.
Ce résultat n'est vrai que pour le pendule idéal sans frottements.
En réalité, il y a perte d'énergie mécanique et le mouvement
du pendule, qui n'est plus sinusoïdal, s'amortit .
Si les frottements sont faibles on observe un mouvement oscillatoire amorti pseudo-périodique, s'ils sont
importants on observe un mouvement apériodique:: c'est -à -dire amorti sans oscillations ..
»
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