BILLARD

Source: http://www.peiresc.org/DINER/Lexique.pdf

 

Système dynamique où une particule matérielle se déplace par inertie dans un domaine fermé fini, avec des frontières lisses par morceaux, sur lesquelles la particule rebondit élastiquement par réflexion (angle de réflexion égal à l'angle d'incidence). Il s'agit d'un billard mathématique, idéalisation du billard utilisé dans le jeu, où l'on ne tient compte ni de la rotation de la boule sur elle-même ni du frottement. Le problème mathématique du billard est dans la description des types possibles de trajectoires et dans leur classement en particulier en trajectoires périodiques ou fermées et en trajectoires non périodiques. L'évolution peut aussi être étudiée dans l'espace de phase pour y définir des propriétés d'ergodicité ou de mélange. Les billards à frontières concaves (billards de Sinaï), dont la frontière est incurvée partout vers l'intérieur, constituent un exemple historique de systèmes dynamiques à propriétés stochastiques (chaotiques) fortes : ce sont des K-systèmes. L'appareil mathématique nécessaire pour l'étude des propriétés ergodiques des billards est apparu dans les années 1970 après une série de travaux de D.V. Anosov, Ya.G. Sinaï, S. Smale et d'autres, fondant une nouvelle branche de la théorie des systèmes dynamiques la théorie des systèmes dynamiques hyperboliques (Cf. Dynamique non linéaire et chaos-histoire). Outre leur utilisation dans des problèmes purement mathématiques les billards sont intéressants comme modèles pour des processus physiques très complexes. Les billards sont traditionnellement utilisés en optique et en acoustique. Certains des modèles importants de la mécanique classique, de la physique statistique et de l'hydrodynamique peuvent être réduits à un billard-gaz et liquides faits de molécules en collisions élastiques entre elles et avec les parois (systèmes de boules dures).