INTEGRABILITE

Source: http://www.peiresc.org/DINER/Lexique.pdf

 

L'intégrabilité d'une équation différentielle ou d'un système dynamique signifie que la courbe solution de cette équation ou de ce système possède une équation analytique explicite. On parle de non intégrabilité lorsque l'équation analytique de la courbe solution n'est pas explicitable. L'intégrabilité d'un système différentiel signifie que la solution peut être représentée sous forme analytique à l'aide d'un ensemble donné à priori de fonctions, pouvant comporter des fonctions spéciales. La non intégrabilité est une propriété fondamentale qui ne peut être contournée en enrichissant le domaine des fonctions de représentation. L'intégrabilité suppose que lorsque deux points de deux courbes d'une famille de solutions sont voisins les deux courbes restent voisines dans leur proximité. La non intégrabilité entraîne que les voisinages de deux points voisins de deux courbes peuvent différer profondément. L'existence d'une telle non intégrabilité est la source de la « sensibilité aux conditions initiales » qui mène au chaos dans les systèmes dynamiques. La présence d'un terme non-linéaire est une condition nécessaire (mais pas suffisante) de non-intégrabilité d'un système dynamique. En fait un système est intégrable s'il possède une loi de conservation d'une grandeur physique pour chacun de ses degrés de liberté. Poincaré a montré que le problème des trois corps en interaction gravitationnelle n'est pas intégrable.