accroissements finis (théorème des) - Définition.

accroissements finis (théorème des) - Définition. MATHÉMATIQUES : ce théorème tient une place fondamentale en analyse, car il établit le lien entre le signe de la dérivée d'une fonction et le sens de variation de cette fonction. Le nom est dû au fait que l'on passe des accroissements « infinitésimaux «, suivant l'expression utilisée autrefois, à de véritables accroissements « finis «. Historiquement, c'est sous une forme géométrique que ce théorème a été énoncé par le mathématicien italien Bonaventura Cavalieri en 1635 : si l'on considère un arc de courbe plane, il existe au moins un point de cet arc, différent des extrémités, où la tangente est parallèle à la corde joignant ces extrémités. Formule des accroissements finis. Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur un intervalle fermé borné [a, b], où a < b, dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[. Il existe alors au moins un élément c de ]a, b[ tel que f (b) - f (a) = (b - a)f' (c). Le rapport est la pente de la droite joignant les points A de coordonnées (a, f(a)) et B de coordonnées (b, f(b)) du graphe de f . La pente de la tangente au graphe de f en un point d'abscisse c est la dérivée de f en c : f ' (c). La formule des accroissements finis exprime donc bien qu'il existe un point du graphe de f où la tangente est parallèle à la corde AB. Comme conséquence immédiate, on obtient que, si une fonction f a une dérivée positive sur un intervalle I, cette fonction est croissante sur I. De même, si la dérivée est négative, la fonction est décroissante. (En particulier, si la dérivée est nulle sur un intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle.) Ce résultat est à la base des techniques d'étude de la variation des fonctions dérivables : on détermine des intervalles sur lesquels la dérivée garde un signe constant. Ce résultat est aussi à la base de la théorie des primitives : si des fonctions dérivables ont la même dérivée sur un intervalle I, ces fonctions diffèrent d'une constante sur I. Théorème général. La formule des accroissements finis fournit une précision illusoire : il existe au moins un nombre c, mais on ne dispose d'aucun renseignement sur ce nombre. On préfère aujourd'hui remplacer cette formule par un encadrement : soient m et M des nombres réels tels que, pour tout élément x de ]a,b[, m £ f'(x) £ M. Alors m (b - a) £ f(b) - f (a) £ M( b - a) (théorème des accroissements finis). On obtient ainsi une évaluation de l'accroissement de f entre a et b. Le théorème des accroissements finis s'étend au cas des fonctions d'une variable réelle à valeurs vectorielles (et en particulier à valeurs complexes) : soit f une fonction continue sur l'intervalle [a,b] à valeurs dans un espace vectoriel normé. On suppose que f est dérivable sur ]a,b[ et qu'il existe un nombre réel positif k tel que, pour tout élément x de ]a, b[, f' (x) £ k. Alors f (b) - f (a) £ k(b - a).