démonstration mathématique - mathématiques.

démonstration mathématique - mathématiques. 1 PRÉSENTATION démonstration mathématique, argumentation prouvant qu'une assertion mathématique est vraie. Située au coeur du travail des scientifiques et objet des réflexions de l'épistémologie, une démonstration est universelle en ce sens qu'elle doit être reproductible par quiconque maîtrise le langage scientifique approprié. Les méthodes permettant de conduire correctement une démonstration sont très variées, elles ont été parfois discutées et peuvent même évoluer. 2 FONDEMENTS EUCLIDIENS La stratégie couramment employée, au moins pour des démonstrations élémentaires, a été exposée par le mathématicien grec Euclide dans les Éléments, ouvrage dans lequel il énonce les étapes fondamentales constituant la plupart des raisonnements mathématiques. On commence tout d'abord par identifier les hypothèses de départ, à partir desquelles on raisonne ensuite de manière logique, grâce notamment au calcul propositionnel ( voir logique mathématique). Une progression rigoureuse permet alors de transformer ces hypothèses pour aboutir à la conclusion désirée. Dans ses démonstrations, Euclide utilise des théorèmes, résultats qui ont déjà été montrés, et des axiomes, vérités non démontrables qui s'imposent comme évidentes. 3 TYPES DE DÉMONSTRATIONS Il existe plusieurs raisonnements mathématiques élémentaires, les plus courants étant les démonstrations par récurrence, par la contraposée ou par l'absurde. 3.1 Démonstration par récurrence Le raisonnement par récurrence est généralement employé lorsque l'on désire montrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n (voir nombres). Il utilise le principe selon lequel une proposition vérifiée pour tout entier n + 1 dès qu'elle l'est pour n est vraie pour tout entier n dès qu'elle l'est pour 0. En effet, en montrant que la proposition est vraie pour 0, on en déduit en cascade que le résultat est vrai pour 1 et donc pour 2 et donc pour 3 et ainsi de suite pour tous les entiers naturels. Considérons par exemple une suite arithmétique (un), de premier terme u0 et de raison r. Appelée encore progression arithmétique, cette suite est donc définie par un+1 = un + r pour tout n. Démontrons par récurrence que la relation un = u0 + nr est vraie pour tout entier n. On vérifie tout d'abord que cette relation est valable pour n = 0 : u0 = u0 + 0.r. Supposons alors que pour un entier quelconque n, un = u0 + nr. Comme par définition, un+1 = un + r, on peut écrire un+1 = un + r = u0 + nr + r = u0 + (n + 1)r. Donc la relation est vraie pour n + 1. Par récurrence, le résultat est donc vrai pour tout entier naturel n. 3.2 Démonstration par la contraposée L'objectif d'une démonstration consiste souvent à montrer que si une proposition P est vraie, alors la proposition Q l'est également (on écrit P La démonstration par la contraposée revient à montrer que (non Q) 3.3 Q, P implique Q). Parfois, il est difficile de montrer directement que P (non P), ce qui, selon les règles du calcul propositionnel, est strictement équivalent à P Q (voir logique mathématique). Q. Démonstration par l'absurde La démonstration par l'absurde est souvent confondue avec la démonstration par contraposée car toutes deux se ressemblent lorsqu'on les met concrètement en oeuvre. Pourtant, leurs fondements logiques sont très différents. La démonstration par l'absurde consiste à montrer que si les propositions P et non Q sont toutes les deux vraies, alors on aboutit à un résultat absurde. Par conséquent, si P est vraie, alors Q est forcément vraie. Par exemple, démontrons que la suite (un) définie par la suite des nombres premiers n'est pas une suite arithmétique. Supposons donc que la suite des nombres premiers soit arithmétique. Par conséquent, un+1 = un + r pour tout n, où r est la raison de la suite. On peut alors écrire que r = u2 - u1 = 2 - 1 = 1, si bien que u4 = u3 + r = 3 + 1 = 4. Or 4 n'est pas un nombre premier, ce qui prouve que l'hypothèse de départ était fausse. La démonstration par l'absurde prouve donc que si ( un) est la suite des nombres premiers, alors (un) n'est pas une suite arithmétique. 4 DÉMONSTRATIONS COMPLEXES Naturellement, toutes les démonstrations mathématiques ne se résument pas à l'application d'une des méthodes élémentaires évoquées ci-dessus. L'histoire des sciences, et particulièrement celle des mathématiques, apporte en effet de nombreux exemples de démonstrations complexes. Celles-ci combinent théorèmes, axiomes, et méthodes classiques ou novatrices. Ainsi, le théorème de Fermat ne fut démontré que plusieurs siècles après avoir été énoncé : jusque-là, il était considéré comme vrai car on n'avait jamais trouvé de contre-exemple. De la même manière, de nombreuses civilisations anciennes acceptaient le théorème de Pythagore, car il concordait avec leurs observations en situation pratique. Cependant, les Grecs prirent rapidement conscience que l'observation et l'opinion publique ne garantissaient pas la vérité mathématique. Une question centrale de l'épistémologie est ainsi de savoir si un très grand nombre d'observations, réalisées dans des contextes variés et jamais contredites, s'avère suffisant pour affirmer qu'un résultat est vrai. Si tel est le cas, l'ordinateur avec sa puissance de traitement d'un nombre gigantesque de cas, de situations simulées, etc. constitue un outil précieux. Par exemple, il a servi à « démontrer « en 1976 le théorème stipulant que quatre couleurs suffisent pour colorier une carte dont deux régions quelconques ont des couleurs différentes. En ayant recours à l'ordinateur pour dénombrer et vérifier tous les cas, cette démonstration, qui ne faisait pas appel à un pur raisonnement logique et déductif, souleva une vive controverse dans la communauté mathématique. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.