écart-type - mathématiques.

écart-type - mathématiques. 1 PRÉSENTATION écart-type, grandeur qui mesure la dispersion autour de sa valeur moyenne de la distribution statistique associée à une variable aléatoire. L'écart-type, noté généralement ? et également appelé déviation standard, est égal à la racine carrée de la variance, qui est la moyenne des déviations au carré de chaque observation par rapport à la moyenne de l'ensemble des observations. L'écart-type est un paramètre crucial en théorie de la mesure ; il est utilisé comme référence standard et échelle de mesure dans les tests d'hypothèse et dans la définition des intervalles de confiance. Il a été défini conjointement au XXe siècle par deux mathématiciens britanniques, William Sealy Gosset (1876-1937), sous le pseudonyme de Student, et Karl Pearson, qui ont développé des méthodes d'analyse statistique adaptées aux petits échantillons. Ils distinguaient l'écart-type, noté S, évalué sur un échantillon prélevé dans la population considérée, et l'écart-type ? associé à la population entière : le premier est un estimateur du second. 2 ASPECTS MATHÉMATIQUES Pour estimer l'écart-type ? d'une population caractérisée par une variable aléatoire continue X, il est nécessaire de connaître sa distribution statistique F(X = x) et de calculer sa variance ? 2, définie par l'expression suivante : où D est l'intervalle des valeurs possibles de X, et E[X] l'espérance mathématique, également notée µ, de la variable aléatoire telle que : Il en est de même pour les variables aléatoires discrètes suivant une loi de probabilités P(X) : où Si la loi de distribution n'est pas connue a priori, l'écart-type ? est estimé à partir d'un échantillon aléatoire (x1, x2, ..., xn) par l'expression suivante : où m est égal à n ou (n - 1), selon que la taille de l'échantillon est respectivement grande ou petite, et ? est la moyenne, dite moyenne arithmétique, de l'échantillon définie par : Une estimation équivalente de l'écart-type revient à calculer S selon : où 3 est la moyenne arithmétique du carré de l'échantillon, soit : ÉCART-TYPE, ÉCART MOYEN ET ÉCART PROBABLE L'écart-type est la mesure de dispersion la plus utilisée dans l'étude de la variabilité des valeurs adoptées au sein d'un ensemble de données par rapport à la mesure de tendance centrale, telle la moyenne, la médiane ou le mode. Une mesure de dispersion alternative est l'écart moyen, dit également déviation moyenne, égal à : Cette mesure indique la moyenne des valeurs absolues des déviations de chaque observation par rapport à une mesure de la position de la distribution (en général mesures de tendance centrale). Si le calcul de l'écart-type et de l'écart moyen s'effectue à partir de l'ensemble de l'échantillon, il existe des mesures de dispersion alternatives se calculant à partir de l'écart entre deux valeurs spécifiques, telle l' empan qui mesure l'écart entre les valeurs maximale et minimale des observations. Les mesures de dispersion complètent l'information obtenue à partir de la mesure de tendance centrale puisqu'elles indiquent si cette dernière est représentative de l'ensemble des données : plus la mesure de dispersion est petite, plus les données sont regroupées autour de la mesure de tendance centrale. Par exemple, si une variable aléatoire suit une fonction de Gauss de moyenne µ et de variance ?2 (donc d'écart-type égal à ? ), 68,26 p. 100 des observations se situent dans l'intervalle [µ ± ? ], 95,44 p. 100 des observations se situent dans l'intervalle [µ ± 2?], et 99,74 p. 100 des observations se situent dans l'intervalle [µ ± 3?]. On désigne par écart probable d'une variable aléatoire, le nombre e, tel que la probabilité que la variable aléatoire s'écarte d'une quantité e par rapport à son espérance mathématique est égale à y, d'où l'expression : P(X - E[X] <= e) = y Pour la loi de Gauss, cet écart probable est égal à : e = ?. ?(2 ln 2) L'écart probable définit ainsi l'intervalle ]µ - e, µ + e[ regroupant toutes les valeurs de la variable aléatoire qui ont plus d'une chance sur deux de se réaliser. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.