Fiche sur les fonctions

                                             Généralités sur les fonctions 

Voir des propriétés sur la calculette et de les démontrer par des calculs :     –   ensemble de définition     –   solutions d'équations et d'inéquations     –   croissance et décroissance     –   symétries     –  maximum et minimum (par exemple 4+x² a 4 comme minimum)  A. Rappels  1. Image et antécédent         Une fonctionf       essaie d'associer à chaque réel x un unique réel notéf  (x).         On dit alors quef  (x) est l'image de x, et que x est un antécédent def  (x).         Si elle existe, l'image de x est unique, par contre un réel y peut avoir plusieurs antécédents.         On note :f  : x ?f  (x).      Exemple     Soitf   : x ? x² + 2x + 3.     L'image du réel – 3  estf  (– 3) = (– 3)² + 2 × (– 3) + 3 = 9 – 6 + 3 = 6.     L'image du réel 1 est  f(1) = 1² + 2 × 1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6.     Le réel 6 a donc au moins 2 antécédents qui sont –3 et 1.  2. Ensemble de définition          L'ensemble D       des réels qui ont une image par la fonctionf             est appelé ensemble de définition                          f          def .     Exemples     1. Fonctions affines : elles sont du type x ? ax + b où a et b sont deux coefficients réels; leur         ensemble de définition est R.                                                                    n     2.  Fonctions monômes : elles sont du type x ?ax  avec a coefficient non nul et n entier naturel;         n est le degré du monôme. Leur ensemble de définition est R.     3.  Fonctions polynômes : ce sont des sommes de monômes; le degré d'un polynôme est le degré         de son monôme de plus haut degré. Leur ensemble de définition est R.                                     3      2         La fonctionf  : x ? 2x  – 4x  + 1 est un polynôme de degré 3.                                       1                                                                                                    *     4.  Fonction inverse : x ?           ; son ensemble de définition est R – {0} ou R , car on ne peut pas                                       x         diviser par 0.     5.  Fonction racine carrée : x ? ?x ; son ensemble de définition est [0; + 8[, car seuls les        nombres positifs ont une racine carrée.  3. Courbe représentative d'une fonction                                                      ?  ?         Dans le plan muni d'un repère          ?O, i ,j ? , on appelle courbe représentative d'une fonctionf         définie sur D  l'ensemble des points de coordonnées (x ,f  (x) ) avec x élément de D .                         f                                                                                      f 

  Un point M(x,y) se trouve sur la courbe si et seulement si y =f  (x).   On dit que y =f  (x) est une équation de la courbe.     Exemple     Soitf  la fonction définie sur [– 4; 4] parf  (x) = x² – 5. .     On a le tableau de valeurs suivants :                   x           -4       -3      -2       -1       0       1       2       3        4                    f (x)       11        4      -1       -4      -5      -4      -1       4      11      On construit la courbe :  4. Sens de variations  Fonction croissante         Une fonctionf  est croissante sur un intervalle I lorsqu'elle conserve l'ordre des nombres.        Pour tous les réels u et v de I, si u < v alorsf  (u) f  (v).        La courbe représentative « descend » lorsqu'on la parcourt de la gauche vers la droite.  Tableau de variations         Une fonction qui est constamment croissante ou décroissante sur un intervalle est dite        monotone sur cet intervalle.        Lors de l'étude d'une fonction on essaie de déterminer les intervalles sur lesquels elle est        monotone. On note le résultat dans un tableau de variations.     Exemple     Soitf  la fonction définie parf  (x) = x² – 5 sur [– 4; 4].    Elle a le tableau de variations suivant : 

  x     - 4            0                    4                11                                  11         f(x)                               - 5      La fonctionf     est décroissante de 11 à  - 5 sur [- 4; 0] et croissante de - 5 à 11 sur [0 ; 4].     Elle a un minimum égal à - 5 pour x = 0.  5. Parité et symétries  Fonction paire         Une fonctionf  définie sur D         est paire si pour tout réel x de D , – x ? D   etf  (– x) =f  (x).                                           f                                        f            f         La courbe représentative d'une fonction paire admet l'axe des ordonnées du repère comme axe        de symétrie.      Exemples     •  Les fonctions monômes de degré pair sont des fonctions paires.     •  La fonction valeur absolue est une fonction paire.  Fonction impaire         Une fonctionf  définie sur D  est impaire si pour tout réel x de D , – x ? D   etf  (– x) = –f  (x).                                           f                                           f           f         La courbe représentative d'une fonction paire admet l'origine du repère comme centre de        symétrie.      Exemples     •  Les fonctions monômes de degré impair sont des fonctions impaires.     •  La fonction inverse est une fonction impaire.  B. Fonctions de référence         Une série de tableaux de variations à connaître pour certaines fonctions usuelles :        fonctions affines, carré, racine carrée, inverse, valeur absolue.  1. Fonctions affines         Une fonctionf  est une fonction affine s'il existe deux réels a et b tels quef  (x) = ax + b.        Elle est définie sur R.        Sa représentation graphique est la droite d'équation y = ax + b. (le réel a est appelé coefficient        directeur de la droite, le réel b est appelé ordonnée à l'origine (image de 0) ).         Si a = 0,f  est une fonction constante. Pour tout réel x,f  (x) = b. La représentation graphique        def  est une droite horizontale (parallèle à l'axe des abscisses du repère).                                                 b        Si a ? 0, f   s'annule pour x =      -    .                                               a         On distingue les deux cas suivants : 

Si a > 0,f  est une fonction croissante.                  Si a < 0,f  est une fonction décroissante.                           -b/a                                                   -b/a          x                                                       x          f(x)              0                                    f(x)               0  2. Fonction carré         Il s'agit de la fonction x ? x². C'est une fonction paire définie sur R.                                               On a le tableau de variations suivant :                                                         x                  0                                                        x²                                                                           0                                                La fonction carrée est décroissante sur ]-? ; 0 ] et                                               croissante sur ]0 ; +?].                                               0 est un minimum : un carré est toujours positif.                                               La courbe est une parabole.  3. Fonction inverse                                        1        Il s'agit de la fonction x ?       . Son ensemble de définition est R* (on ne peut pas diviser par                                        x        0). C'est une fonction impaire.                                                           On a le tableau de variations suivant :                                                                  x                      0                                                                  1/x                                                            La courbe est une hyperbole.  4. Fonction racine carrée         Il s'agit de la fonction x ?    ?x . Son ensemble de définition est [0; +8[. 

On a le tableau de variations suivant :                                                                                                                               ?8                                                                               x       0                                                                             ??x ?                                                                           La courbe est une demi-parabole.  5. Fonction valeur absolue.           Il s'agit de la fonction x ? x . C'est une fonction paire définie sur R.          Si x  ? 0,  x = x;  si x < 0,  x = x.                                                                            On a le tableau de variations suivant :                                                                                     x                          0                                                                                    x                                                                                                                 0                                                                             La courbe est formée de deux demi-droites issues                                                                            des droites d'équation y = x et y = – x.  C. Opérations sur les fonctions  1. Addition d'un réel. Multiplication par un réel.           Soitf     une fonction définie sur D                et k un réel.                                                           f           La fonction x ?f  (x) + k a les mêmes variations que la fonctionf .          Si k est positif, la fonction x ? k.f (x) a les mêmes variations quef .          Si k est négatif, la fonction x ? k.f (x) a les variations inverses de celles def .      Exemple                                                1     On sait que la fonction x ?                     est décroissante sur ]0; +8[. On en déduit que :                                                x                                  1     •    la fonction x ?            ?4  est décroissante sur ]0; +8[.                                  x                                  3     •    la fonction x ?             est décroissante sur]0; +8[.                                  x                                  -2     •    la fonction x ?                est croissante sur ]0; +8[.                                   x 

2. Opérations algébriques           Soient f     et g deux fonctions dont les ensembles de définition sont D  et D .                                                                                                           f      g          On définit les fonctions suivantes :         •    La fonctionf  +g : x ?f  (x)+ g(x); son ensemble de définition est l'intersection de D  et D .                                                                                                                                  f       g          •    La fonctionf  – g : x ?f  (x)+ g(x); son ensemble de définition est l'intersection de D  et D .                                                                                                                                   f       g          •    La fonctionf .g : x ?f  (x) ×g(x); son ensemble de définition est l'intersection de D  et D .                                                                                                                                   f       g                                 f            f  ?x ?         •    La fonction            : x ?           ; son ensemble de définition est l'intersection de D  et D  privée                                g            g ?x ?                                                                         f       g               des valeurs de x qui annulent g (x).      Propriétés :     •   La somme de deux fonctions croissantes est croissante.     •   La somme de deux fonctions décroissantes est décroissante.     Attention :     il n'y a pas de règles générales de ce genre pour les autres opérations.  3. Composition des fonctions           Soientf  et g deux fonctions dont les ensembles de définition sont D  et D .                                                                                                         f       g          La fonction g °f          (lire g rond f) est la fonction qui à x associe g[f  (x) ].         Ainsi, pour tout x, on a g °f  (x) = g[f  (x) ].         g °f    est définie pour x ? D  et f  (x) ? D .                                                f                   g      Exemple     Soientf  : x ?2x – 1  et  g : x ? x² – x.     On a g °f  (x) = g(2x – 1) = (2x – 1)² – (2x – 1) = 4x² – 6x + 2     etf  °g (x) =f  (x² – 1) = 2(x² – x) – 1 = 2x² – 2x – 1.     En général les fonctions g °f  etf  °g sont différentes.      Propriétés     Soientf  et g deux fonctions dont les ensembles de définition sont D  et D .                                                                                                     f      g      Soit I un intervalle de D  sur lequelf  est monotone.                                       f      Soit J un intervalle de D  sur lequel g est monotone et tel que si x est dans I,f  (x) est dans J.                                       g      •   Lorsquef  et g ont même sens de variation, g °f  est croissante sur I.     •   Lorsquef  et g ont des sens de variation  différents, g °f  est décroissante sur I.      Exemple     Etudier les variations de la fonctionf  : x ? (x – 2)² .     Soientf   : x ? x – 2 etf   : x ? x².                1                     2      On af      =f 2  °f 1.      1. On prend I = [2; + 8[.f   est croissante sur I. Pour tout x de I,f                        (x) est dans J avec J = [0; + 8[                                           1                                                      1          etf   est croissante sur J. On en déduit quef                  °f   est croissante sur I.              2                                                       2     1      2.  On prend I = ] –8; 2].f   est croissante sur I. Pour tout x de I,f  (x) est dans J avec J =] –8; 0]                                           1                                                     1          etf   est décroissante sur J. On en déduit quef                    °f   est décroissante sur I.              2                                                           2    1