nombres - mathématiques.

nombres - mathématiques. 1 PRÉSENTATION nombres (mathématiques), mot ou symbole utilisé pour désigner des quantités. En arithmétique, un nombre désigne un élément des ensembles , , , , 2 ou (ensembles qui « s'emboîtent « les uns dans les autres). ENTIERS NATURELS Les nombres les plus simples sont les entiers naturels, ou entiers, qui appartiennent à l'ensemble infini 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... On dit que l'ensemble des entiers naturels, noté , est fermé vis-à-vis de l'addition et de la multiplication, ce qui signifie que la somme ou le produit de deux entiers naturels est toujours un entier naturel. En revanche, ce résultat est faux pour la soustraction de deux entiers naturels. C'est pourquoi on a été amené à introduire les entiers relatifs. 3 ENTIERS RELATIFS Un entier relatif est un entier naturel auquel on attribue un signe, positif (symbole +) ou négatif (symbole -). Par exemple, 0, 1, - 3, - 6 sont des entiers relatifs. À noter que lorsque l'entier relatif est positif, on omet souvent de préciser son signe. On constate donc que l'ensemble des entiers relatifs, noté , englobe l'ensemble des entiers naturels. On peut écrire 4 Ì (voir théorie des ensembles). NOMBRES DÉCIMAUX Un entier décimal est le quotient d'un entier relatif par une puissance de 10. Ainsi, - 100,2 ; 2,4 ; - 0,06 ; 8 et - 5 sont des entiers décimaux. L'ensemble des entiers relatifs est inclus dans l'ensemble des entiers décimaux, noté . On a donc Ì Ì . L'ensemble des entiers relatifs est fermé pour la soustraction, mais non pour la division : on a alors été conduit à créer les fractions, dites nombres rationnels. 5 NOMBRES RATIONNELS On appelle nombre rationnel ou fraction tout nombre égal au quotient de deux entiers relatifs. En d'autres termes, r est rationnel s'il existe deux entiers relatifs p et q, q non nul, tels que r = p/q. Par exemple, 4/5 ; - 3/6 ; 5 ; 0 ; - 7,5 ; - 4 sont des nombres rationnels. On constate donc que l'ensemble des entiers rationnels, noté , contient l'ensemble des entiers décimaux . En effet, tout entier décimal d peut s'écrire sous la forme d = n/10p, où 10p est une puissance de 10 (voir exposant). De même, tout entier naturel n correspond à la fraction n/1. On a Ì Ì Ì . Par ailleurs, la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres rationnels sont encore des nombres rationnels. 6 NOMBRES RÉELS 6.1 Nombres irrationnels Avec le développement de la géométrie est apparu le besoin de créer de nouveaux nombres. Ainsi, la longueur de la diagonale d'un carré dont le côté mesure une unité ne peut s'exprimer à l'aide d'une fraction. Cette longueur est égale à la racine carrée de 2, de symbole . Multipliée par elle-même, cette valeur vaut 2. De même, le quotient de la circonférence d'un cercle par son diamètre n'est pas un nombre rationnel, mais vaut p = 3,1415... Ces nombres sont dits irrationnels. La réunion de l'ensemble des nombres rationnels et de l'ensemble des irrationnels constitue l'ensemble des nombres réels, de symbole . On peut donc écrire 6.2 Ì Ì Ì . Nombres algébriques Le nombre réel r est un nombre algébrique s'il existe une relation de la forme a0 + a1.r + a2.r2 + ... + an.rn = 0, avec a1, a2, ..., an rationnels et n entier. Par exemple, 6.3 Ì est un nombre algébrique, car ( )2 - 2 = 0. Nombres transcendants Un nombre réel est dit transcendant s'il n'est pas algébrique. Le mathématicien français Joseph Liouville en a démontré l'existence au XIXe siècle en explicitant les nombres dits « de Liouville «. On peut aisément construire des nombres transcendants, en s'appuyant par exemple sur le théorème suivant : si a est un nombre algébrique non nul, alors ea est un nombre transcendant (voir exponentielle). En revanche, démontrer la transcendance d'un nombre donné est beaucoup plus délicat. Ainsi, la transcendance du nombre e n'a été démontrée qu'en 1872 par le mathématicien français Charles Hermite, celle du nombre pi (p) en 1882 par le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann et celle de 2Ã par le mathématicien allemand Carl Siegel, en 1932. 7 NOMBRES COMPLEXES Le produit d'un nombre réel par lui-même est toujours positif ou nul ; aussi, l'équation x2 = - 1 ne peut pas avoir de solution dans l'ensemble des nombres réels. C'est pourquoi un nouvel ensemble de nombres a été construit, pouvant vérifier, entre autres, l'équation précédente. En définissant le nombre imaginaire i tel que i2 = - 1, on appelle nombre complexe un nombre de la forme x + iy, où x et y sont des nombres réels. On peut alors résoudre l'équation suivante : x2 = - 9 par x = - 3i ou x = + 3i. On appelle nombre imaginaire un nombre pouvant s'écrire sous la forme ai, a étant un nombre réel. Les nombres complexes sont donc une combinaison des nombres réels et des nombres imaginaires. Par conséquent, l'ensemble des nombres complexes, noté , englobe l'ensemble des réels, ce qui permet d'écrire les relations d'« emboîtements « successifs suivants : Ì Ì Ì Ì Ì . Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.