Petite question, suite de complexes

Soit (rn) la suite géométrique de premier terme r0 et de raison 2. Nous avons donc, pour tout n ∈ IN, 3 De plus (θn) est arithmétique de premier terme θ0 ∈ [0; π[, et de raison 2π, nous avons alors, pour 23 tout n ∈ IN, Doncz0 =r0(cosθ0 +isinθ0),z1 = 2r0(cosθ1 +isinθ1)etz2 =(2)2r0(cosθ2 +isinθ2). 33 Puisque rn > 0, zn = rn et arg(zn) = θn + 2kπ. La relation z0z1z2 = 8 donne : 􏰀 Pour les modules, z0z1z2 = 8 ⇔ z0

z2 = 8 ⇔ r0 × 2r0 × (2)2r0 = 8 33 Donc 􏰀 Pour les arguments, arg(z0z1z2) = 0 + 2kπ, k ∈ /Z. Ainsi arg(z0)+arg(z1)+arg(z2) = 0+2kπ ⇔ θ0 +θ0 + 2π +θ0 + 4π = 0+2kπ Question 1. Réponse c. rn =r0(2)n. 3 θn = θ0 + 2nπ . 3 r03 = 8 × 27 ⇔ r0 = 3 8 2k′π π3 3 Ainsi3θ0 =0+2k′π⇔θ0 =0+ 3 .Orθ0 ∈[0;2[,doncununiquek′ convient,c'estk′ =0. Donc Conclusion : , Donc a) est faux. De plus arg(z1) = 2π +2kπ et arg(z3) = 0+2kπ 3 O, M1 et M3 ne sont pas alignés ! Donc b) est faux. D'après le cours la distance OMn = zn. ∑n k=0 La suite cherchée est donc la somme des termes d'une suite géométrique de raison 2 et de premier θ0 = 0 −→ −−→ 2π −→ −−→ Donc (u,OM1) = 3 +2kπ et (u,OM3) = 0+2kπ donc (OM3,OM1) = 3 +2kπ. Donc les points zn = rn = r0(2)n. 3 z0 = 3(cos0 + isin0) z1 =2(cos2π +isin2π) 33 , z2 = 4 (cos 4π + i sin 4π ). 333 −−→ −−→ 2π Ainsi, ln = Or OMk = z0+z1+···+zn. terme r0. Ainsi, 3 r0 −rn × 2 3−3×(2)n+1 2 ln = 3 = 3 = 9(1 − ( )n+1 1−213 33 1 )