arithmétique - encyclopédie.

arithmétique - encyclopédie. n.f., branche des mathématiques ayant pour objet l'étude des nombres entiers. L'arithmétique élémentaire traite de la pratique des quatre opérations (addition, soustraction, multiplication et division). On opposait autrefois l'arithmétique à l'algèbre, en ce sens que la première considère des nombres explicités, tandis que la seconde introduit des symboles littéraux. Les problèmes de multiples et de divisibilité. L'essentiel des questions d'arithmétique proprement dite fut étudié par Euclide : ce sont les notions de divisibilité, de nombres premiers, de plus grand commun diviseur et de plus petit commun multiple (voir aussi algorithme et congruence). Ces questions prennent leurs sources dans la vie de tous les jours. Ainsi, les problèmes de multiples communs apparurent d'abord chez les astronomes babyloniens, puis grecs ; Méton (Ve siècle) remarqua par exemple que 235 mois lunaires coïncidaient à peu près avec 19 années solaires. En hommage aux astronomes chinois et à leurs études relatives à la reproduction périodique de certaines configurations des planètes, les mathématiciens ont aussi donné le nom de « théorème chinois « à un important résultat sur les congruences. Le fait qu'aucune puissance de 2 ne coïncide avec aucune puissance de 3 est à l'origine des études pythagoriciennes sur les gammes musicales ; c'est l'approximation 3 12 S 219 qui mènera à la création de la gamme tempérée, faisant de la musique « classique « un calcul de congruence modulo 12 ! Les équations diophantiennes sont des équations où les coefficients et les inconnues sont des entiers. Le cas linéaire a été étudié par Diophante (Arithmétiques, 370 après J.C.). Dans le cas quadratique, l'équation de Pell-Fermat : x 2 - d y2 = m , où d est sans facteur carré, joue un rôle clé, mais son étude suppose déjà la théorie des nombres algébriques. Le grand théorème de Fermat est un exemple très célèbre de conjecture non démontrée, dans le cadre des équations diophantiennes. Représentation des nombres en sommes de carrés. Les nombres premiers qui sont la somme de deux carrés sont les nombres premiers de la forme 4n + 1 (théorème des deux carrés, d'Euler). Ainsi, 53 est un nombre premier de ce type : 53 = 4 × 13 + 1. On peut décomposer 53 sous la forme 53 = 22 + 72. Tout nombre entier naturel est la somme de quatre carrés (théorème de Lagrange). De très nombreux résultats concernant les nombres premiers sont dus à Le Gendre (Essai sur les théories des nombres, 1797) ; en particulier, sa loi de réciprocité quadratique que Gauss, un autre géant de l'arithmétique des années 1800, désignait comme le « joyau de l'arithmétique «. De tout temps, des conjectures, appuyées sur l'expérimentation, ont jalonné l'arithmétique, et cela donne à cette discipline une certaine originalité au sein des mathématiques. Aujourd'hui, on met à contribution les gros ordinateurs pour tenter d'infirmer des conjectures classiques ou pour en formuler de nouvelles. Nombre de diviseurs d'un entier et indicateur d'Euler. Soit n un entier naturel non nul. On note d(n) le nombre de diviseurs de n et f (n), l'indicateur d'Euler, c'est-à-dire le nombre d'entiers inférieurs à n et premiers avec n. Les fonctions arithmétiques d et f sont des fonctions arithmétiques multiplicatives, au sens suivant : si m et n sont premiers entre eux, d(mn) = d(m )d(n) et f (mn) = f (m )f (n). Cette propriété permet de calculer f (n) connaissant la décomposition de n en facteurs premiers : si n = P1a 1 P2a 2 ... Pr ar , alors Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats addition algèbre algorithme anneau - 2.MATHÉMATIQUES axiome calcul - 1.MATHÉMATIQUES carré congruence Diophante division - 1.MATHÉMATIQUES Euclide Hypatie idéal mathématiques moyenne multiplication naturel (nombre entier) quadrivium sciences (histoire des) - La lumière - Les nombres complexes soustraction suite - 1.MATHÉMATIQUES