compact (espace).

compact (espace). MATHÉMATIQUES : espace à l'intérieur duquel toute partie infinie a nécessairement un point d'accumulation. On démontre que, pour toute famille d'ouverts de u dont la réunion contient un intervalle [ a, b], il existe une sous-famille finie dont la réunion contient [ a, b]. Cette propriété, dite de Borel-Lebesgue, joue un très grand rôle en analyse, car elle permet de ramener l'étude d'ensembles infinis au cas fini. C'est pourquoi on a été amené à étudier les espaces métriques possédant cette propriété : de tels espaces sont dits compacts. Une autre caractéristique d'un espace compact est la propriété dite de Bolzano-Weierstrass : de toute suite de ses éléments, on peut extraire une suite convergente. Dans le cas de u, les parties compactes ne sont autres que les parties fermées bornées. Ainsi, l'intervalle [0, 1[ n'est pas compact. L'ensemble t d es nombres rationnels, l'ensemble u tout entier fournissent d'autres exemples de parties non compactes. L'image d'une partie compacte par une fonction continue est encore compacte ; en particulier, une fonction numérique continue de u dans u transforme un intervalle fermé borné en un intervalle fermé borné : elle atteint donc ses bornes (son maximum et son minimum) et prend toute valeur entre ses bornes.