géométrie. n.f., branche des mathématiques traitant des propriétés de l'espace. D'abord liée à la mesure pratique des terrains, la géométrie s'est développée comme une science déductive chez les mathématiciens grecs, dès le IVe siècle avant J.-C. À partir du XVIe siècle et jusqu'au XIXe siècle, la géométrie classique, dite « euclidienne «, multiplia les problèmes de construction et les résultats concernant les figures formées de points, de droites et de cercles. Encore aujourd'hui, les problèmes portant sur la construction, la mesure ou la découverte de propriétés de certaines figures sont souvent identifiés à la géométrie tout entière. Cependant, si la géométrie d'Euclide et de ses successeurs restait un modèle pour l'exposition et la démonstration en mathématiques, les objets de son étude d'abord, ses méthodes ensuite et ses fondements mêmes allaient être profondément mis en cause au XIXe siècle. La géométrie projective. Cette géométrie trouve son origine dans la représentation perspective découverte par les peintres italiens du quattrocento. Des mathématiciens comme Girard Desargues (1640) et Jean Victor Poncelet (1822) s'intéressèrent aux transformations, appelées « projections «, ramenant les « points à l'infini « à une distance finie ou, inversement, expédiant à l'infini certains points particuliers. La recherche d'un exposé méthodique de cette géométrie allait à la fois faire apparaître des objets nouveaux (ruban de Möbius, bouteille de Klein, plan projectif...) et des concepts essentiels (invariants, groupes de transformations...), mais aussi montrer comment replacer la géométrie euclidienne dans un cadre axiomatique pouvant accepter bien d'autres géométries. Les géométries non euclidiennes. Durant des siècles, les mathématiciens se sont évertués à démontrer le « cinquième postulat « d'Euclide qui énonce que « par un point pris hors d'une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite «. Giovanni Girolamo Saccheri (1662-1733) et Jean Henri Lambert (1728-1777) développèrent, à partir de la négation de ce postulat euclidien, de longues et importantes argumentations, mais sans jamais pouvoir faire apparaître de contradiction. La possibilité de développer une géométrie cohérente sur la négation de ce postulat, tout en conservant tous les autres axiomes de la géométrie classique, fut explicitée presque simultanément par le Russe Nikolaï Lobatchevski et le Hongrois János Bolyai : par un point pris hors d'une droite, on peut faire passer une infinité de droites qui ne la coupent pas et dont deux particulières méritent le nom de parallèles à cette droite. Non seulement il est possible de donner des exemples concrets d'une telle géométrie (comme l'ont fait Eugenio Beltrami et Henri Poincaré), mais les progrès de la physique au XXe siècle laissent entendre que notre Univers serait de cette nature (c'est-àdire non euclidien), essentiellement à cause de la courbure créée par les phénomènes de gravitation. Complétez votre recherche en consultant : Les livres sciences (histoire des) - représentation d'un espace courbe, page 4681, volume 9 Les géométries et les groupes de transformations. C'est en 1872 que Felix Klein publia le Programme d'Erlangen qui marque la date de naissance de la géométrie moderne. Il y expliquait que les objets et les figures étudiés ne caractérisent pas une géométrie aussi bien que la nature des transformations qui opèrent sur eux et, plus particulièrement, les groupes de transformations géométriques qui conservent tel ou tel aspect de leurs propriétés. Il montrait comment la considération de ces groupes permet, d'une part de classer et de hiérarchiser les différentes géométries que leur dénomination semble opposer (projective, euclidienne, non euclidienne, riemannienne...), d'autre part de montrer l'équivalence de géométries apparemment différentes par leurs objets, objets sur lesquels néanmoins opère le même groupe. L'axiomatisation de la géométrie. Ainsi, à la fin du XIXe siècle, les problèmes de fondements de la géométrie étaient-ils totalement élucidés ; en 1899, David Hilbert énonça explicitement et exhaustivement les axiomes de la géométrie euclidienne sous une forme ordonnée qui fait clairement apparaître les liens et les différences avec les autres géométries alternatives. Cependant, après les travaux de Georg Cantor sur les nombres réels et les avancées de Giuseppe Peano, Ernst Zermelo et des logiciens sur la théorie des ensembles, on démontra que toutes les mathématiques pouvaient être fondées sur l'arithmétique élémentaire, c'est-àdire sur les nombres entiers. Déjà, depuis Descartes, les mathématiciens avaient pris l'habitude de résoudre certains problèmes « par les nombres « en choisissant de repérer des points, des droites ou des courbes, en mesurant leur distance à un axe parallèlement à une direction donnée. Cette méthode, connue sous le nom de géométrie analytique et parfaitement au point depuis Gaspard Monge (1804), est d'ailleurs toujours très utile et utilisée, surtout depuis l'apparition des ordinateurs et de leurs possibilités graphiques. C'est donc à partir des nombres et de leurs propriétés que l'on peut aujourd'hui exposer la (ou les) géométrie(s) dans un cadre unifié : celui de l'algèbre linéaire. Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats affine (géométrie) axiome Cantor Georg Chasles Michel courbe Desargues Girard Descartes René descriptive (géométrie) droite [1] Éléments d'Euclide Euclide Euler Leonhard Gauss Carl Friedrich groupe - 3.MATHÉMATIQUES Hilbert David invariant Klein Felix Lobatchevski Nikolaï Ivanovitch mathématiques Möbius August Ferdinand Monge Gaspard parallèle - 1.MATHÉMATIQUES Pascal Blaise Poncelet Jean Victor Pythagore Riemann Bernhard sciences (histoire des) - L'espace - Géométries non euclidiennes sciences (histoire des) - La lumière - Les nombres complexes Thalès
