métrique (espace).

métrique (espace). espace dans lequel on a défini une distance. Cette notion fut introduite par Maurice Fréchet vers 1905, pour généraliser aux suites et aux fonctions le langage géométrique relatif au plan et à l'espace de la géométrie élémentaire. On peut ainsi parler de « suites orthogonales », d'« hyperplans » constitués par des familles de fonctions, etc. Cette géométrisation de l'analyse a permis de grands progrès en théorie des fonctions et une très efficace clarification de concepts qui se sont avérés fondamentaux : complétude, dualité, différentiabilité, développements en série, intégration... Une fois dégagée de nos deux ou trois dimensions, la notion de distance s'est montrée aussi très utile pour mesurer le degré de dissemblance à l'intérieur de populations dont les individus sont repérés par n paramètres (n > 3), de sorte que les applications en statistiques et dans les sciences sociales, jointes à d'autres techniques d'algèbre linéaire (voir factorielle [analyse]), sont devenues très importantes. Précisément, une distance dans un ensemble E est une application d qui, à deux éléments x et y de E, fait correspondre un nombre réel positif tel que : d(x, y) = d(y, x) (symétrie) ; d(x, y) = 0 équivaut à x = y ; d(x, y) £ d(x, z) + d (z, y) (inégalité dite « triangulaire »). Le couple (E, d) constitué d'un ensemble E et d'une distance d sur E s'appelle un espace métrique. Exemples : u2, muni de la distance euclidienne classique, notée d2 : un, muni de la distance continue la plus simple (« somme des écarts des coordonnées »), notée d1 : l'espace des suites, muni de la distance notée d¥ : l'espace des fonctions continues sur [0,1], muni de l'une des distances dn : Pratiquement, dans un espace, une distance est souvent définie à partir d'un produit scalaire (voir ce mot). Voir aussi norme et longueur. Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats distance factorielle (analyse) Fréchet Maurice longueur norme - 3.MATHÉMATIQUES scalaire [2]