modélisation. n.f. MATHÉMATIQUES : traduction d'un problème dans un langage adapté à sa résolution. Quelle que soit leur origine (pratique ou spéculative) et quels que soient les motivations et les objectifs de ceux qui les construisent, les mathématiques produisent des théories. Et celles-ci ont des applications dans d'autres disciplines ou dans la vie quotidienne. En fait, les théories mathématiques (ou certains fragments de ces théories) se proposent comme modèle mathématique de certaines « réalités ». Ainsi, lorsqu'un caillou tombe du haut d'un immeuble, on peut modéliser son mouvement par une équation (liant sa hauteur h et le temps t écoulé depuis qu'il a été lâché) fondée sur l'hypothèse que la dérivée seconde de h est égale à un nombre constant ; le calcul différentiel permet l'écriture explicite de cette équation : La mise en oeuvre d'outils et de techniques mathématiques permet alors d'obtenir certains résultats relatifs au phénomène ou au processus modélisé ; ici, par exemple, l'équation obtenue permet de calculer le temps nécessaire pour que le caillou arrive au sol. Évidemment, les résultats obtenus sont des résultats « théoriques ». Indépendamment même des approximations dues aux phénomènes secondaires que l'on a décidé de négliger (résistance de l'air, variations locales de l'accélération de la pesanteur, etc.), une modélisation est toujours un « pari » qui doit être validé par l'expérience et dont la validité est d'ailleurs restreinte à un certain domaine de l'espace et du temps. La figure ci-dessus schématise le processus de modélisation d'une certaine réalité localisée. On abstrait d'abord (en les choisissant « bien ») certaines caractéristiques du morceau de réalité qui nous intéresse ; et on formalise ce morceau dans une théorie, « bien choisie » elle aussi pour en être une « bonne » représentation. Dans le cadre de cette théorie, on développe un discours mathématique, donc cohérent, qui permet d'aboutir, après calculs et raisonnements, à des conclusions et résultats « théoriques ». On traduit alors les résultats théoriques en termes concrets et on vérifie, par des tests, des mesures, des expériences, que ces résultats ont bien un sens et cadrent « bien » avec la réalité dont on est parti. C'est cette dialectique de retour à la réalité qui permet de préciser le domaine de validité du modèle théorique. Car il y a, en effet, deux « garde-fous » essentiels au bon usage de la modélisation. D'abord, un modèle est toujours « local » ; le fait qu'il soit possible de décalquer la théorie sur la réalité est toujours limité à certaines valeurs, à certaines périodes, à certains lieux. Prenons un exemple simple mais significatif : le prix d'une chose est proportionnel à sa quantité, mais cette proportionnalité est limitée pour des raisons diverses ; par exemple, beaucoup de choses coûtent en général moins cher à l'unité que peu de choses. Ensuite, les théories sont en concurrence les unes avec les autres ; ainsi, les mathématiques ne proposent pas « une » vérité : telle ou telle théorie (en contradiction l'une avec l'autre) peut être choisie. En revanche, les mathématiques proposent des conséquences logiques suivant nécessairement les hypothèses « abstraites » ; c'est à celui qui a voulu les utiliser d'en tirer les conséquences « pratiques ». Le choix d'un modèle théorique est affaire d'expérience et de bon sens : si l'on travaille sur une feuille de papier avec une règle et un compas, on a généralement intérêt à modéliser son activité par la géométrie euclidienne plane. Si, a contrario, on étudie les trajets optimaux des avions long-courriers joignant les grandes capitales de notre Terre, on a alors intérêt à modéliser la situation par une géométrie non euclidienne (où, en particulier, deux perpendiculaires à une même trajectoire « droite » se coupent quelque part !). Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats mathématiques modèle économique physique - La révolution galiléenne et la naissance de la physique classique Introduction sciences (histoire des) - L'espace - Géométries non euclidiennes théorie Les livres modélisation, page 3235, volume 6
