vectoriel (espace).

vectoriel (espace). structure algébrique à la base de l'algèbre linéaire. On appelle espace vectoriel sur u un ensemble E muni de deux opérations : l'une est notée additivement ; l'autre est une action de u sur E, notée (a, ª) ® aª. Ces lois satisfont aux conditions suivantes : - l'ensemble E muni de l'addition est un groupe commutatif (l'élément neutre pour l'addition est noté ²) ; - pour tout couple (a, b) de nombres réels et pour tout élément ª de E, a(b ª) = (ab)ª ; - pour tout élément ª de E, 1ª = ª ; - pour tout couple (a, b) de nombres réels et pour tout couple (ª, ,) d'éléments de E, On peut remplacer le corps u des nombres réels par un corps commutatif quelconque, le corps des nombres rationnels ou le corps des nombres complexes, par exemple. Les éléments de ce corps sont parfois appelés scalaires. Exemples d'espaces vectoriels. La somme f + g de deux fonctions numériques est définie par la relation : (f + g)(x) = f (x) + g(x). Le produit de f par un nombre réel a est défini par la relation : (af )(x) = a(f (x)). L'ensemble des fonctions numériques définies sur u est alors muni d'une structure d'espace vectoriel sur u. On munit de même l'ensemble des suites d'une structure d'espace vectoriel. L'ensemble u2 des couples de nombres réels est un espace vectoriel sur u lorsqu'on le munit des lois suivantes : (a, b) + (a', b') = (a + b, a' + b'). a(a, b) = (aa, ab). On définit de même l'espace vectoriel u3, et plus généralement, pour tout entier naturel non nul n, l'espace vectoriel un est l'espace vectoriel des polynômes. Base. On dit qu'une suite (Ô1, Ô2, ..., Ôn) de vecteurs de E est une base si tout vecteur ª de E peut s'écrire d'une manière et d'une seule sous la forme : ª = a1 Ô1 + a2 Ô2 + ... + an Ôn. Les scalaires a1, a2, ..., an s'appellent alors composantes du vecteur ª dans cette base. Par exemple, dans l'espace vectoriel u2, la base canonique est (Ô1, Ô2), où Ô1 = (1,0) et Ô2 = (0,1). Dimension. Soit E un espace vectoriel admettant une base (Ô1, Ô2, ..., Ôn). Alors, toutes les bases de E ont le même nombre n d'éléments. Ce nombre s'appelle dimension de l'espace vectoriel E et se note dim E. On dit de manière qualitative que E est de dimension finie. L'espace vectoriel des fonctions numériques définies sur u n'admet pas de base de la forme précédente ; on dit qu'il est de dimension infinie. Il en est de même pour l'espace vectoriel des polynômes. Produit vectoriel. Soit E un espace vectoriel orienté de dimension 3. On appelle produit vectoriel des vecteurs ª et ,, et on note ª × ,, ou encore ª Ù ,, le vecteur défini par les conditions suivantes : si ª et , sont colinéaires, alors ª × , = ² ; si ª et , ne sont pas colinéaires, la suite (ª, ,, ª × ,) est une base orthogonale directe (c'est-à-dire que son orientation est l'orientation donnée sur E), et : ª × ,=ª , sin Z, où Z est l'angle des vecteurs ª et ,. Les applications ª _ª × ,et , _ ª × , sont linéaires. En outre : , × ª = - ª × ,. Soit B une base orthonormale directe de E. Notons (a,b,c) et (a', b', c') les composantes de ª et de , dans cette base. Les composantes de ª × , sont (bc' - cb', ca' - ac', ab' - ba'). Le produit vectoriel intervient souvent en mécanique et en physique. Complétez votre recherche en consultant : Les corrélats algèbre base - 1.MATHÉMATIQUES Euclide fonction - 2.MATHÉMATIQUES Hilbert David linéaire scalaire [2] sciences (histoire des) - L'espace - Géométries non euclidiennes sciences (histoire des) - La lumière - Les nombres complexes supplémentaire