TPE SUR LES GRANDS MATHEMATICIENS

« des mathématiciens grecs.

Ils inventèrent également les chiffres arabes , qui proviennent des chiffres indiens et que nous utilisons toujours aujourd'hui .

le mathématicien Thabit ben Q'ra (836-901) fut le premier à traduire les travaux d'Archimède , l'étude d 'Apollonius sur les sections coniques , ainsi que la géométrie d'Euclide.

Il élargit l'usage de la théorie des nombres aux rappor15 entre les grandeurs géométriques.

Ensuite , Al Bathani (858-929) introduisit la notion de sinus et de cosinus, remplaçant la corde des angles utilisée par les grecs.

Il fut ainsi l'inventeur de la trigonométrie.

Mais le mathématicien le plus important du IX' siècle est sans doute Muhammad Al-Khwarizmi (780- 850).

Celui-ci écrivit un traité de mathématiques pratiques pour montrer « ce qui est le plus facile et le plus utile en arithmétique " dans lequel il explique les fondements de l'algèbre .

Il y explique les procédés qu'il utilise pour résoudre des équations et qui se nomment al-jabr et al-muqabala.

Au X' siècle, les travaux se portent sur l'élaboration de table de valeurs de sinus et sur une systématisation de l'algèbre.

Abu Kamil (850-930) étudie par exemple les équations du 4' degré et les nombres irrationnels comme n .

Le Xl' siècle fut moins productif, et c'est au Xli' Siècle qu'Omar AI-Khayyam (1050-1123) étudia la géométrie d 'Euclide et l'algèbre .

Il traita, et à sa suite AI-Tusi (1201-1274), de l'extraction de racines 4', 5', voire d 'ordres supérieurs.

Enfin, AI-Kashi à la fin du XIV' siècle, calcula , entre autres travaux, une valeur approchée de n à 16 décimales.

Il montra également une généralisation du théorème de Pythagore pour un triangle quelconque .

C'est avec la parution des traductions des Éléments d'Euclide en Italie à la fin du xve siècle que les mathématiques reprennent de l'essor en Europe .

Les artistes comme Paolo Uccello {1397- 1475) ou Piero della Francesca (1416- 1492) exploitent ces connaissances pour inventer la perspective .

les cartographes tirent également profit de cette renaissance mathématique avec en particulier Gerhard Mercator (1512- 1594) au xvie siècle.

C'est également au XV' siècle que renaît la trigono­ métrie grâce à Regiomontanus (1436- 1476) qui explique comment calculer .._MA __ le sinus et les cordes des angles et qui publie des tables de sinus.

L'algèbre avait été abordée au début du X lii ' siècle par Leonardo Fibonacci de Pise {1170- 1250), mais c'est réellement au XVI' siècle que cette science des équations prend de l 'importance.

En particulier , le problème de la résolut ion des équations du 3 ' degré (avec x') occupa de nombreux mathématiciens .

Scipione del Ferro (1465-1526) résolut un cas particulier de ces équations , celles qui ne contiennent pas de second degré (pas de x2), mais ne publia pas ce résultat.

Niccolo Tartaglia (1500-1557) trouva indépendamment le même résultat qu'il compléta par la résolution des équations qui ne contienne pas de premier degré (pas de x).

Il refusa également de rendre publiques ses découvertes mais les révéla à Jérôme Cardan (1501-1576) qui les publia en 1545 dans son Ars Magna , le premier grand traité d'algèbre européen .

Cet ouvrage présente une véritable théorie des équations algébriques.

Pour ces travaux, Cardan est le premier à utiliser les « nombres imaginaires >> en utilisant la racine carrée de -1.

Cette époque voit également l'apparition des signes mathématiques que nous utilisons aujourd 'hui.

Auparavant, on écrivait les équations et les calculs en texte et il est probable que ceci ait ralenti l'avancée de la science mathématique .

le symbole « + " était une abréviation du « et" latin et le symbole « =" fut introduit en 1537 par l'anglais Robert Recorde (1510-1558).

L'introduction de lettres pour désigner les inconnues (aujourd'hui x, y, z, etc) est faite par l'allemand Michael Stifel (1486-1567).

le français Françoi s Viète (1540-1603) contribua également à cette entreprise en introduisant non seulement des symboles pour les grandeurs algébriques (les inconnues) , mais également pour les opérations (multiplication, division, etc).

Il appliqua également ces méthodes à la trigonométrie.

Ces travaux et leur usage par les mathématiciens des xv• et XVI' siècles simplifièrent l'algèbre et la trigonométrie et permirent des avancées plus rapides .

LES XVII' ET XVIII• SIÈCLES : L'INVENTION DE L'ANALYSE Au xvii' siècle apparaît le calcul infinitésimal découvert indépen­ damment par Isaac Newton (1642- 1727) et Gottfried Leibniz (1646- 1716).

Ce calcul consiste à considérer des quantités infiniment petites .

Il deviendra plus tard le calcul différentiel et intégral ou le calcul des variations.

Cette découverte est engendrée par l'invention de la géométrie analytique en particulier par René Descartes (1596-1650) et Pierre de Fermat (1601 -1665).

le premier , dans sa Géométrie publié en appendice de son Discours de la méthode en 1637 , associe par cette méthode les droites ou les courbes à des équations algébriques .

le second découvrit comment résoudre les problèmes d'extremum en y associant la résolution d'équations algébriques.

les logarithmes apparurent à la même époque, découvert5 par John Napier (1550-1617) et Henry Briggs (1561- 1630 ) .

le calcul des probabilités fut également théorisé au XVI' siècle en grande partie par Blaise Pascal ( 1623 - 1662).

On lui doit également de nombreux travaux dans tous les domaines et en particulier sur le triangle binomial qui, bien que découvert dès l'antiquité, porte son nom .

la résolution des problèmes posés par leibniz et Newton de quadrature de surfaces courbes ou d 'intégration des équations différentielles fait du XVIII' siècle le siècle de l'analyse.

les principaux mathématiciens qui y contribuent sont Bernouilli, Joseph Lagrange (1736-1813), Adrien Legendre (1752 -1833), Jean D 'Alembert (1717- 1783 ) ...

Leonhard Euler (1707 -1783) dégagea le calcul infinitésimal de la géométrie qui le rendait très difficile à appréhender.

Il rattacha également, avec Pierre laplace (1749- 1827) , la trigonométrie à l'algèbre .

C'est à cette époque que les conjonctures de Christian GoldBach {1690-1764) sont posées : tout entier pair supérieur ou égal à 4 est somme de deux nombres premiers et tout entier impair supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers.

Malgré des progrès dus à Vinogradov (1937), Chen (1973) et Vaughan (1975), ces conjectures demeurent aujourd'hui encore des problèmes non résolus .

On voit apparaître peu à peu un nouveau formalisme et une nouvelle rigueur, par exemple dans la construction des nombres réels ou l'axiomatisation des nouvelles structures algébriques tels les groupes, ou les espaces vectoriels .

Au début du XIX' siècle, Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) met en évidence à travers ses nombreux travaux en analyse l'insuffisance de l'intuition géométrique et la nécessité de la rigueur mathématique .

L'analyse est alors principalement composée de la théorie des fonctions à variable complexe abordée également par Georg Riemann (1826-1866).

L'algèbre simplifiée par le nouveau formalisme progresse considérablement grâce à Niels H.

Abel {1802- 1829 ), Evariste Galois (1811- 1832), Carl Jacobi L-.....;;;.;...o ...._.-...; ..

(1804-1851), Ernst Kummer (1810-1893), George Boole {1815 -1864), Marius Lie {1842 -1899).

Ces deux derniers donnent d'ailleurs leur nom à des structures algébriques nouvelle s.

Une révolution importante en géométrie est l'invention des géométries non-euclidiennes où l'on remplace le postulat d'Euclide par un autre.

Ce sont les géométries hyperboliques et elliptiques dues respectivement à Nikolaï Lobatchevski (1793 -1856) et à Riemann (1826- 1866 ).

les géométries projectives sont ensuite étudiées par Michel Chasle s (1793-1880), Jean Poncelet (1788- 1867) , Felix Klein (1849 -1925) .

Cart Friedrich Gauss (1777-1855) apporta des résultats dans tous ces domaines et contribua de plus à l'élaboration de la théorie pou rsuivent l'œuvre de formalisation entamée au siècle précédent , l'éla rgissant à tous les domaines des mathématiques.

L'axiomatisation est pou ssée à son paroxysme avec le groupe de mathématiciens Bourbaki (1939) qui publie depuis sa création les Eléments de Mathématique dont on dénombre à ce jour une quarantaine de volumes.

On assiste également à une généralisation de certains résultats.

Ainsi, Henri lebesgue (1875-1941) , s'appuyant sur les travaux d'Emile Borel (1871-1956), généralise la théor ie de l'intégration .

En algèbre, Stefan Banach (1892-1945) définit de nouvelles structures.

les ensembles découver15 par Gaston Julia {1893-1978) permirent à Benoit Mande/brot d 'inventer les fractales dans les années 1970 .

Elles ont des applications dans de nombreu x domaines où la théorie du chaos s'applique, c'est-à­ dire où d'infimes variations des conditions de départ entraînent des variations immenses à l'arrivée (biologie, économie, climatologie, méc anique des fluides) .

Dan s les années 1930 , Kurt Gôdel (1906-1978) montre que les mathématiques sont« incomplètes" : il existe au moins une proposition indécidable, c'est-à-dire dont on ne peut prouver qu'elle est vraie ou faus se ! On peut cependant montrer que cette science n'est pas cont radictoire ...

la deuxième moitié du XX' siècle voit statistique.

On lui l'apparition des ordinateurs et de doit par exemple la distribution normale (également appelée courbe de Gaus s).

Il pour suivait les travaux de Denis Poisson (1781 -1840) et lambert Quételet (1796-1874).

On voit également apparaître la théorie des ensembles introduite par Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) qui permet en particulier de différencier l'infini des entiers , dénombrable, et l 'infini des réels, continu , qui est « plus grand "· réfutant enfin de façon convaincante les paradoxes de Zénon d 'Élée , 2 300 ans après leur formulation ! LES MATHÉMATIQUES MODERNES la fin du XIX' siècle voit la naissance des mathématiques modernes .

À Paris , en 1900, David Hilbert (1862 -1943) énonce une liste de 23 problèmes sur des domaine s très variés qui engendreront de nombreuses recherches, encore aujourd'hui.

Hilbert et Henri Poincaré (1854- 1912) sont considérés comme les plus grands mathé­ maticiens de cette époque, et sans doute les derniers à connaître toute la math ématique de leur temps.

les mathématiciens du XX' siècle l'informatique dont Johannes Von Neumann (1903- 1957) et Alan Turing (1912 -1954) sont considérés comme les inventeurs.

Depuis , ces outils et leur puis sance de calcul ont considérablement facilité certaines tâch es des mathématiciens , mais il n 'existe pas encore de machine capable de réaliser une démonstration mathématique complexe sur un sujet donné.

Ce n 'est qu'en 1995 qu'Andrew Wiles résout le célèbre théorème de Fermat, énoncé en 1641 , en utilisant un rapprochement des formes modulaires et des courbes elliptiques.

L'énoncé du théorème de Fermat-Wiles (1995) est le suivant: il n'exis te pas de solution autre que x=O, y=O , Z=O à l'équation x"+y. »