Annale

« 17MASSIN1 Page 2 sur 9 EXERCICE 1 (5 points) Commun à tous les candidats Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis , si nécessaire, au millième.

La chocolaterie « Choc’o » fabrique des tablettes d e chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.

Partie A À l’issue de la fabrication, la chocolaterie consid ère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballée s, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabricat ion : · la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu ’une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98.

· la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité q u’une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95.

À la fin d’une journée de fabrication, on prélève a u hasard une tablette et on note : A l’évènement : « la tablette de chocolat provient d e la chaîne de fabrication A » ; C l’évènement : « la tablette de chocolat est commer cialisable ».

On note x la probabilité qu’une tablette de chocolat provien ne de la chaîne A.

1.

Montrer que 95,0 03,0 ) ( + = x C P .

2.

À l’issue de la production, on constate que 96 % de s tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabili té qu’une tablette soit commercialisable.

Justifier que la probabilité que la tablette provie nne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.

Partie B Une machine électronique mesure la teneur en cacao d’une tablette de chocolat.

Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variabl e aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre
.

1.

La durée de vie moyenne de ce type de machine est d e 5 ans.

Déterminer le paramètre
de la loi exponentielle.

2.

Calculer (Z 2)P > .

3.

Sachant que la machine de l’atelier a déjà fonction né pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?. »