controle sur les suites

1S1 : DEVOIR SURVEILLE N°8 (2 heures) Exercice 1 (2 points) Calculer les sommes suivantes : S1 = 1+2+3+ ... +1999+2000 et S2 = 2001 + 2002 + 2003 + ... + 9998 + 9999. Exercice 2 (3 points) La suite (un) est arithmétique de raison r. On sait que u50 = 406 et u100 = 806. 1. Calculer la raison r et u0. 2. Calculer la somme S = u50 + u51 + ... + u100. Exercice 3 (4 points) Une entreprise décide de verser à ses ingénieurs une prime annuelle de 500 Euros. Pour ne pas se dévaluer, il est prévu que chaque année la prime augmente de 2% par rapport à l'année précédente. On note (un) la suite des primes avec u1 = 500. 1. Calculer u2 puis u3 (c'est-à-dire la prime versée par l'entreprise la 2ème année et la 3ème année) 2. Exprimer un+1 en fonction de un. En déduire la nature de la suite (un). Un ingénieur compte rester 20 ans dans cette entreprise à partir du moment où est versée la prime. 3. Calculer la prime qu'il touchera la 20ème année (c'est-à-dire u20) 4. Calculer la somme totale S des primes touchées sur les 20 années (c'est-à-dire S = u1 + u2 + u3 + ... + u20) Exercice 4 (4 points) On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour tout n I ., par : n n 3 ´ 2 - 4n + 33 ´ 2 + 4n - 3 un = et vn = 2 2 1. Soit (wn) la suite définie par wn = un + vn. Démontrer que (wn) est une suite géométrique. 2. Soit (tn) la suite définie par tn = un - vn. Démontrer que (tn) est une suite arithmétique. 1 3. Démontrer que : un = (wn + tn) 2 4. Exprimer la somme suivante en fonction de n : Sn = u0 + u1 + ... + un Exercice 5 (7 points) .u0 = 3 ï On considère la suite (un) définie par : .2 u = pour tout entier natureln. n+1 ï 1+ u în 1. Calculer u1 et u2. La suite (un) est-elle arithmétique ? Géométrique ? 2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, ona : 0 . un . 3....