DERIVATION Part 1 1ere Spécialité Maths

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Généralités 1.1.

Taux de variation Soit 𝑓une fonction définie sur 𝐼un intervalle de R et 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 ∈ 𝐼 avec 𝑎 ≠ 𝑏.

Le taux de variation moyen de 𝑓 entre 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 est défini par 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎 . Définition : Posons 𝑏 = 𝑎 + ℎ avec ℎ ≠ 0 alors on appelle le taux de variation de la fonction 𝑓 entre 𝑎 et 𝑎 + ℎ , le rapport 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ . Exemple : 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) 𝑚(𝑎+ℎ)+𝑝−(𝑚𝑎+𝑝) 𝑚ℎ = = ℎ = ℎ ℎ 𝑔(𝑎+ℎ)−𝑔(𝑎) (𝑎+ℎ)2 −𝑎 2 2ℎ𝑎+ℎ2 = = = 2𝑎 + ℎ ℎ ℎ ℎ - 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑝 .

Le taux de variation est - 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 .

Le taux de variation est : 𝑚 1.2 Limite en un point Définition : Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 ⊂ R contenant ou ne contenant pas 𝑥0 et 𝑙 ∈ R.

On dit que 𝑓 tend vers 𝑙 quand 𝑥 tend vers 𝑥0 si on peut rendre 𝑓(𝑥) aussi proche de 𝑙 que l’on veut pour 𝑥 suffisamment proche de 𝑥0 .

On note : lim 𝑓(𝑥) = 𝑙 . 𝑥→𝑥0 Si la limite 𝑙 existe, elle est unique. Si 𝒙𝟎 = 𝟎 Exemples dans le cas où 𝑥0 = 0 (s’applique au taux de variation ci-dessus) lim (𝑚𝑥 + 𝑝) = 𝑝 - 𝑥→0 lim (𝑎𝑥 2 ) = 0 - 𝑥→0 lim (√𝑥 + 𝑥 − 2) = −2 - 𝑥→0 1 lim (𝑥 + 3) = 3 - 𝑥→0 2.

Nombre dérivé et tangente 2.1.

Nombre dérivé d’une fonction en un point Définition : Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼.

Soit 𝑎 ∈ 𝐼 et ℎ ≠ 0 tel que 𝑎 + ℎ ∈ 𝐼.

On dit que 𝑓est dérivable en 𝑎 si, lorsque ℎ tend vers 0, le taux de variation de 𝑓 entre 𝒇(𝒂+𝒉)−𝒇(𝒂) ) 𝒉 𝑎 et ℎ tend vers un réel 𝑳 autrement dit si 𝐥𝐢𝐦( 𝒉→𝟎 =𝑳 Ce nombre réel 𝑳 est appelé nombre dérivé de 𝒇 en 𝒂 et se note 𝒇′(𝒂). 𝐿 est un nombre réel et il est unique.

Autrement dit, si 𝑓 est une fonction telle que 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ) ℎ lim ( ℎ→0 B.CRÖNERT = ∞ , 𝑓 n’est pas dérivable en 𝑎 . 2 NB : Pour aller plus loin : soit 𝑓 une fonction définie sur 𝐼 et en l’occurrence à gauche et à droite de 𝑎 ∈ 𝐼.On définit la dérivée à gauche ou à droite d’un point.

Alors 𝑓est dérivable en 𝑎 si et seulement si la dérivée à droite de 𝑎 est égale à la dérivée à gauche de 𝑎 , soit 𝑓𝑔 ′ (𝑎) = 𝑓𝑑 ′ (𝑎) |𝑥| n’est pas dérivable en 0 car les dérivées à gauche et à droite de 0 La fonction 𝑓: 𝑥 ne sont pas égales (-1 et 1). Exemple : - Démontrons que 𝑓: 𝑥 𝑥 2 est dérivable.... »