Paradoxe Saint-Pétersbourg

« Paradoxe de Saint-Pétersburg Bonjour à tous, je vais aujourd’hui vous parlez du paradoxe de St-Pétersburg, un problème surtout axé autour des notions de probabilités et d’espérance.

D’ailleurs je vais de suite définir espérance car c’est un terme qui reviendra de manière récurrente : il s’agit de la moyenne des valeurs obtenues si on répète un très grand nombre de fois la même expérience aléatoire.

Ma problématique est la suivante :« Devenir l’Homme le plus riche grâce au paradoxe de St-Pétersburg, une réalité ? ». Je commencerai par vous présenter le jeu sur lequel repose le paradoxe ainsi que les réponses qui y ont été apportées, qui, on le verra, dépasse de loin la seule notion de mathématiques. Pour d’abord donner une définition de paradoxe et comprendre en quoi notre cas en est un : un paradoxe est une situation qui contredit l'intuition commune, en maths, une proposition qui contient une contradiction. Notre paradoxe est énoncé pour la 1er fois en 1713 par Nicolas Bernoulli, mais c’est son frère Daniel Bernoulli qui le rendra public pour la 1er fois en 1738. Notre jeu oppose un joueur à un casino, pour jouer, le joueur doit payer un prix d’entrée au casino, qu’on appellera mise initiale.

Le jeu se base sur un simple pile ou face et s’arrête dès que face apparaît auquel cas le casino paie au joueur son gain.

Si le joueur fait face au 1 er lancé il gagne 1$, au 2e 2$, au 3e 4$, au 4e 8$ etc.

Donc, de façon général si face apparaît pour la première fois au n-ième lancé, la banque paie 2^(n−1)$ au joueur. De manière assez simple, on trouve que la probabilité de faire face au n-ième coup est de (1/2)^n, cela peut se prouver grâce à un arbre de probabilité. Notre jeu peut être modéliser par une variable aléatoire X, qui à chaque « face » associe un gain. Le tableau devant vous montre ainsi la loi de probabilité de notre jeu.

On peut ainsi déterminer l’espérance du jeu en faisant la somme des gains multiplié à leur probabilité respective.

On se rend compte que cette somme revient à ajouter une infinité de fois 1/2. Notre espérance est infinie. Donc en moyenne on gagne une infinité d’argent en jouant à ce jeu.

Alors qu’attend-t-on pour jouer à ce jeu et devenir infiniment riche ? En réalité, ni vous ni moi ne serions prêt à mettre plus de 10$ pour jouer.

Il nous semble impossible à 1er vu de gagner de grosses sommes.

En effet, pour un gain de 512$, soit faire face au 10e lancé, je n’ai qu’1 chance sur 1024.

Faire face au 20e coup me rapporterai 500k$, mais sous une probabilité de 1/1000000. Il y a donc contradiction entre calcul mathématique et sentiment humain. C’est de cette contradiction que naît le paradoxe, l’espérance ne reflète pas le sentiment du joueur, autrement dit, personne n’a envie de prendre le risque de jouer sous une mise initiale supérieure à quelques $ malgré une récompense d’apparence infinie. De ce paradoxe découle alors plusieurs solutions/réponses qui visent à réévaluer l’espérance de façon à ce qu’elle est une valeur finie, et que le jeu nous paraisse un peu plus réaliste. Une 1er réponse, assez simple à comprendre, est que le casino n’a pas argent infini.

Il faut alors ajouter une variante et limiter la mise maximum du casino.

Imaginons qu’un casino possède 2^20$ maximum, soit 1M$.

Si le joueur fait face au 21e coup ou plus, il récupère alors tout les fonds du casino.

Si on calcule désormais notre espérance, plutôt que d’ajouter une infinité de fois 1/2, on les ajoute 21 fois entre eux (car seulement les 21 1er lancés nous importe) et on obtient une espérance finie de 10.5$ (21*1/2).

Dans ce cas précis, le joueur doit donc miser.... »