Correction ED1 Tolérances de notation : « -A » ou « ¨A » ou « Ä » est utilisé pour « le complémentaire de A » Exercices supplémentaires Exercice 1 Question 1 Main de 13 cartes dont 4 dames (déjà posées, donc) 48!

Correction ED1 Tolérances de notation : « -A « ou « ¨A « ou « Ä « est utilisé pour « le complémentaire de A « Exercices supplémentaires Exercice 1 Question 1 Main de 13 cartes dont 4 dames (déjà posées, donc) 48! # favorables C 48 39!.9! = = = 0.00264 52! # possibles C13 52 39!.13! 9 Question 2 Main avec au moins un as : difficile, risque de compter en double. Prendre l'événement contraire P(au moins un as) = 1 - P(aucun as) 13 # favorables C 48 P (aucunas) = = = 0.0304 # possibles C13 52 Donc P(au moins un as) = 1 - 0.0304 = 0.696 Exercice 2 Enoncé : p(R/P)=0.143 p(R/D) = 0.4 p(R/T) = 0.605 p(P) = 687/1140 = 0.603 p(D) = 415/1140 = 0.364 p(T) = 1-p(D)-p(P) = 0.033 p(F) = 0.51 et p(G) = 1-p(F) = 0.49 p(F/R) = 0.42 p(F/P) = 0.3 où P, D et T forment un SCE question 1 p( R ) = p(R/P)*p(P) + p(R/D)*p(D) + p(R/T)*p(T) = 0.143 * 0.603 + 0.4 * 0.364 + 0.605 * 0.033 = 0.252 question 2 p(-R/T) = 1-p(R/T) = 0.395 question 3 # RnP = p(R/P) * p(P) * 1140 = 0.143 * 687/1140 * 1140 = 98 question 4 # Pn-R = #P - #PnR = 687 - 98 = 589 question 5 p(R/F) = p(F/R) * p(R) / p(F) = 0.42 * 0.252 / 0.51 = 0.208 question 6 on donne p(F / PnR)= 0.45 p( R/FnP) = p(RnFnP)/p(PnF) = [ p(F/PnR) * p(PnR) ] / p(PnF) = [ p(F/PnR) * p(R/P) * p(P) ] / [ p(PnF)] = ( 0.45 * 0.143 * 0.603 ) / ( 0.3 ) = 0.13 question 7 de la même manière p( R/GnP) = [ p(RnGnP) / [ p(GnP) ] = (1-p(F/PnR)) * p(R/P) * p(P) / [ p(P) - p(GnP) ] = ( (1-0.45) * 0.143 *.603) / ( 0.603-.3) = 0.157 Exercice 3 6 boîtes Question 1 P(A) = 3/6 = 0.5 Dans la foulée, on calcule P(B) = 1/6 et P(C) = 2/6=1/3 Question 2 On nous donne P(D/A) = 0.5 P(D/B) = 0.75 P(A/D ) = P(DnA) / P(D) = P(D/A) P(A)/ P(D) Calculons P(D) = P(D/A)*P(A) + P(D/B)*P(B) + P(D/C)*P(C) = 0.5*0.5 + 0.75*1/6 + 0.2*1/3 = 0.442 Donc P(A/D ) = 0.5 * 0.5 / 0.442 = 0.566 Question 3 p( A -F n D ) = p( A n -F n D) / p(-F n D) / calculons les termes du quotient : p( A n -F n D) P(D/C) = 0.2 = p(-FnAnD) = p(-FAnD) * p(AnD) = [1-p(FAnD) ] * p(DA) * p(A) = (1-0.9) * 0.5*0.5 = 0.025 2 de même pour B et C p( B n -F n D) = (1-0.1) * 0.75 * 1/6 = 0.1125 p( C n -F n D) = (1-0) * 0.2 * 1/3 = 0.0666 ABC sont un SCE et donc p(-FnD) = p(-FnDnA) + p(-FnDnB) + p(-FnDnC) = 0.2042 Donc p( A -F n D ) = 0.025 / 0.2042 = 0.122 Exercice 4 A et B indépendants. X quelconque, P(X)>0. Question 1 Raisonnement par l'absurde P(X) = P(X/Y ) X et Y indépendant A est inclus dans AuB, donc ils sont dépendants. Montrons le : P (AuB/A)=1 donc différent de P(AuB) de même AnB est inclus dans A donc P A/AnB)=1 Question 2 Raisonnement par l'absurde. Il suffit de trouver un cas de X qui ne fonctionne pas pour rejeter cette afirmation. Tentons par exemple X = A. Alors : A et BnA sont indépendants, or nous savons que c'est AnX et BnX indépendants faux (cf. question 1). Tentons par exemple X = AnB. Alors : AnX et BnX indépendants AnB et BnA sont indépendants, or c'est faux puisque ces ensembles sont identiques. Exercice 5 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 25 20 15 10 5 0 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x n f(x) -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 moyenne médiane mode variance écart type p(x>=1) 1 3 5 6 10 16 20 16 11 6 4 2 0 x.f(x) 0.01 0.03 0.05 0.06 0.1 0.16 0.2 0.16 0.11 0.06 0.04 0.02 0 Somme : n cumulé -0.03 -0.075 -0.1 -0.09 -0.1 -0.08 0 0.08 0.11 0.09 0.08 0.05 0 -0.065 1 4 9 15 25 41 61 77 88 94 98 100 ...