Construction européenne
Publié le 10/11/2012
Extrait du document
«
Si + un 1 = un alors la suite ( un ) est constante.
En observant les premiers termes de la suite, on peut conjecturer son sens de variation.
Il faut
ensuite la démontrer.
On choisit un entier n quelconque.
On compare +
un 1 et un .
On calcule la différence : + un 1 -
un et on étudie son signe.
Si +
un 1 - un > 0 (positif) alors + un 1 > un
Si +
un 1 - un < 0 (négatif) alors + un 1 < un
Si +
un 1 - un = 0 (nul) alors + un 1 = un
Exemple 1 : ( un ) : = + = +
u0 4un 1 2 un 5
=
u0 4 = u1 13 = u2 31 = u3 67 = u4 139 = × u50 1 1016 = × u51 2 1016
= ×
u52 4 1016
( un ) semble strictement croissante.
Démonstration : +
un 1 - un = (2 + un 5 ) - un
= 2 +
un 5 - un
= +
un 5 positif
On remarque que u0 = 4 donc qui est positif et pour passer d’un terme au suivant, on multiplie
par 2 puis on ajoute 5.
Donc tous les termes sont positifs.
u0 > 0
+
un 5 > 0
Conclusion : +
un 1 > un
( un ) strictement croissante.
Exemple 2 : ( vn ) : vn = +
1n 3
v0 = 13 v1 = 14 v2 = 15 =
v3 16 v4 = 17
Il semble que ( vn ) est strictement décroissante.
Démonstration : +
vn 1 - vn = + + 1n 1 3 - + 1n 3.
»
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