Fiche de révision pour le bac: LES MATHEMATIQUES ?

« ont laissé au genre humain des modèles de l'art de démontrer» (Nouveaux essais sur l'entendement humain, 1703). Vérité ou validité ?A dater de la constitution de géométries cohérentes mais non euclidiennes, on a considéré que ce ne sont pas lespropositions de la géométrie qui recèlent, isolément, une vérité absolue.

En effet, la géométrie de Lobatchevski(1826) postule que par un point extérieur à une droite, il peut passer une infinité de non-sécantes ; celle deRiemann (1854), à l'inverse, postule que par un tel point on ne peut faire passer aucune parallèle à la droiteconsidérée ! L'architecte continuera, certes, de se référer à la géométrie euclidienne, afin de construire desmaisons...

; mais la microphysique einsteinienne, par exemple, aura recours à une autre géométrie (en l'occurrence,à celle de Riemann).C'est donc, plutôt, dans le lien de conséquence valide qui unit un groupe d'axiomes (non démontrés) à un corps dethéorèmes (démontrés sur la base de ces axiomes-là) que loge la certitude mathématique.

On dit que lesmathématiques sont une science hypothético-déductive.

Demandera-t-on si la somme des angles d'un triangle est-elle égale, inférieure ou supérieure à deux angles droits ? Des trois cas concevables, un géomètre ancien eûtrépondu que seul le premier était vrai.

«Pour un moderne, il s'agit là de trois théorèmes distincts, qui ne s'excluentmutuellement qu'à l'intérieur d'un même système, selon que le nombre des parallèles est postulé égal, supérieur ouinférieur à un» (R.

Blanché, L'Axiomatique, 1970). Les mathématiques et le réel Mathématiques et sciences physiquesSi Galilée est considéré comme le pionnier de la physique moderne, c'est en grande partie parce qu'il a été le premierà lier la recherche expérimentale à la formule mathématique.

Il n'allait nullement de soi que des chiffres et autressymboles, en un certain ordre associés, pussent exprimer la vérité de la chute d'une pierre...

(il n'est qu'à feuilleterla Physique d'Aristote : on n'y trouvera pas une seule formule mathématique).

«Le livre de l'univers est écrit dans lalangue mathématique : ses caractères sont des triangles, des cercles et d'autres figures géométriques, sansl'intermédiaire desquels il est impossible d'en comprendre humainement un mot» (L'Essayeur, 1623). Les mathématiques, habit de rigueur de la pensée scientifiqueL'utilisation des mathématiques dans les sciences expérimentales est désormais chose courante, et ce, nonseulement dans les sciences physiques ou biologiques, mais encore dans les sciences humaines (ois l'abus deschiffres peut même donner parfois à une simple opinion l'apparence d'un discours scientifique).«C'est dans la jeunesse des sciences, écrit le mathématicien André Lichnerowicz, que nous voyons l'accumulationdes faits expérimentaux» ; si nous observons, au contraire, les «stades plus évolués» (de la physique, notamment),on s'aperçoit que les mathématiques constituent la «chair» et le «sang» de toute théorie scientifique («Remarquessur les mathématiques et la réalité», 1967) • Textes «SOCRATE : Tu sais, j'imagine, que ceux qui s'appliquent à la géométrie, à l'arithmétique ou aux sciences de cegenre, supposent le pair et l'impair, les figures, trois sortes d'angles et d'autres choses de la même famille, pourchaque recherche différente ; qu'ayant supposé ces choses comme s'ils les connaissaient, ils ne daignent en donnerraison ni à eux-mêmes ni aux autres, estimant qu'elles sont claires pour tous ; qu'enfin, partant de là, ils déduisentce qui s'ensuit et finissent par atteindre, de manière conséquente, l'objet que visait leur enquête.[...] Tu sais donc qu'ils se servent de figures visibles et raisonnent sur elles en pensant, non pas à ces figuresmêmes, mais aux originaux qu'elles reproduisent ; leurs raisonnements portent sur le carré en soi et la diagonale ensoi, non sur la diagonale qu'ils tracent, et ainsi du reste.» PLATON (Ve siècle av.

J.-C.).

La République, livre VI. «S'il faut parler d'un "miracle grec" dans l'évolution de la pensée humaine, sans doute faut-il le voir dans l'éclosionsurprenante d'un mode de pensée pratiquement inexistant jusqu'aux Grecs, et porté par eux d'un seul coup à uneperfection inégalée pendant vingt siècles : le raisonnement déductif, c'est-à-dire un enchaînement de propositionsdisposées de telle sorte que le lecteur (ou auditeur) se voit contraint de considérer comme vraie chacune d'elles,dès lors qu'il a admis la vérité de celles qui la précèdent dans le raisonnement.C'est cette découverte qui donne l'essor aux mathématiques en tant que science pure, puisqu'elles ne sont autres àl'origine qu'une branche de la dialectique, caractérisée seulement par la nature particulière des êtres sur lesquelsporte le raisonnement : figures géométriques et nombres.»Jean DIEUDONNÉ (1809-1882).

"Les méthodes axiomatiques modernes et les fondements des mathématiques", in LesGrands Courants de la pensée mathématique , 1962. »