Ludwig Wittgenstein
Publié le 29/09/2013
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«La philosophie place seulement toute chose devant nous, et n'explique ni ne déduit rien - puisque tout est étalé j sous nos yeux, il n'y a rien à expliquer( ... ). Si on voulait poser ~ des thèses en philosophie, on n'en viendrait pas à la discussion, o: parce que tout le monde serait d'accord avec elles.«
Ludwig Wittgenstein, Investigations philosophiques
Avec deux ouvrages, le Tractatus logico-philosophicus et les Investigations philosophiques, Wittgenstein a durablement marqué son siècle. En effet, ses recherches auront une influence déterminante sur la façon de concevoir l'acte même de philosopher.
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«
Trapèze • Un trapèze est un quadriatère dont 2 c6tés opposés sont parallèles.
• la surface d'un trapèze vaut S=(a+c)xll/2 ou a et c sont les longueurs des 2 côtés parallèles et h est la longueur de la hauteur du trapèze (mesure de la distance entre les deux côtés parallèles ).
a
c
• Son périmètre p vaut p=a+b+c+d.
Rectangle ' • Un redangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits (90") .
a
b b
a • Sa surface est égale au produit de la largeur (a) par la longueur (b) S•ax lt • Son périmètre p est égal à p•2 1+211 • les diagonales d'un rectangle ont la même longueur .
Call'é • Un carré est un rectangle dont tous les cotés sont égaux.
• Sa surface est égale à la longueur des
a
a
a
côtés élevée au carré 5=12 • Son périmètre p est égal à , ...
• les diagonales d'un carré ont la même longueur (comme celles d'un rectangle) et sont perpendiculaires.
AUTRES POLYGONES (N > 4)
• Surface (ou aire) .
Il n'existe pas de formule donnant l'aire d'un polygone quelconque.
En revanche , on peut cakuler l'aire d 'un polygone régulier en le divisant en triangles .
l'IMTAGONl(N•S) • Un pentagone est un polygone à s côtés .
•Toutes les diagonales d'un pentagone ont la même longueur.
• Nombre d'or.
On peut calculer le nombre d'or à partir d'un pentagone régulier .
Le nombre d'or est égal à la longueur de la diagonale divisée par la longueur d'un côté .
Construction d'un pentagone et d'un décagone (n = 10) réguliers •Tracer un cercle C 1 de rayon r et de centre O.
•Tracer un diamètre du cerde .
Soit A et 8 les deux extrémités de ce diamètre .
Soit K le milieu du segment [AO].
• Tracer un cerde C 2 de centre K et de rayon r.
Il coupe le segment [ABI en un point M .
•A l'aide d 'un compas, reporter dix fois la longueur OM sur le cercle C 1.
• Joindre les dix points pour obtenir un décagone régulier , et seulement un point sur deux pour obtenir un pentagone régulier convexe.
llDAGONE ( ....
).
• Un hexagone est un polygone à 6 c6tés .
Construction d'un hexagone régulier • Construire un triangle équilatéral et son cerde circonscrit .
• La médiatrice de chaque c6té coupe le cercle en 3 points.
• Les 6 sommets de l'hexagone correspondent à ces 3 points , plus les 3 sommets du triangle .
• Une étoile à 5 branches est un pentagone régulier concave .
On l'appelle pentagramme .
Construction d'un pentagramme
fi
• Soit un pentagone régulier concav e dont les sommets consécutifs sont A.
B , C.
D et E : en reliant les sommets selon l'ordre ADBEC on obtient un pentagramme .
CERCLES, EWPSES
ET PARABOLES
œl1 Un cerde est une ligne courbe fermée sur elle même , plane et dont tous les points se trouvent à égale distance d 'un point 0 , le centre du cercle .
Rayon (r ) : distance commune entre le centre et les points du cercle , matérialisée par une portion de droite dont une extrémité est le centre 0, l'autre étant un point du cerde .
Segment : portion de droite limitée à ses deux extrémités par la courbe ducerde.
Diamètre (d) : segment passant par le centre O.
d=2r
c.w • cftlfrf 0 ,,.,..,..,.
Circonférence (Q : longueur du cercle (ou périmètre de la surface délimitée par le cerde ).
C=2 ri r Aire, A : surface délimitée par le cerde .
A=rir2 À périmètre égal, le cercle est
la figure gëométrique qui présente la plus grande aire.
mmm Une ellipse est.
comme le cercle , une courbe plane fermée, mais telle que la somme des distances de tout point de cette courbe à deux points particuliers, les foyers (f et F'), est constante .
Axes : le segment AA', de plus grande longueur, est le grand axe ; le segment 88', de plus petite longueur, est le petit axe.
Périmètre, P : (voir formule sur la figure du fichier JPEG •ellipse ») Aire , A :
lti;f;1:1.UJI
Une parabole est une courbe plane telle que chacun de ses points se trouve à égale distance d'une droite (0),
B
R c
appelée directrice et d'un point F, appelé foyer , situé à l'extérieur de la droite.
,.,....
.
,.,,.,.
,
«•~(O) .
HM=Mf
x'
y '
(D) o r H
X
P= n 2(r+~- 2.l V (H)J
13·1:' [,]ij fj
les cerdes , les ellipses et les paraboles sont des coniques : chacune cle ces différentes figures géométriques s'obtient par section d 'un cône par un plan .
p1rabole
9.n
' ' ' ' " • ,, .
' .
' ,:
llyperllole
Selon la position du plan par rapport à ce cOne circulaire , la figure ainsi obtenue peut être une ellipse, une parabole ou une hyperbole (qui est donc également une conique} .
L'ellipse devient un cerde lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe du cône .
Définition géométrique des coniques On peut définir une conique comme un ensemble de points dont les distances à une droite fixe (directrice) et à un point fixe (foyer) , sont dans un rapport constant Ce rapport, e , est appelé • excentricité • de la conique .
L'excentricité est supérieure à 1 pour l'hyperl>ole , égale à 1 pour la parabole et inférieure à 1 pour l'ellipse .
l!iiJjjl:J.l!il
' 1 1 excentricité
e = !.
= MF >1 a ME
On obtient une hyperbole lorsque le plan est parallèle à t'axe du cône .
Formée de quatre arcs infinis symétriques, l'hyperbole peut se réduire à deux droites concourantes .
Sa particularité, parmi les coniques, est d 'admettre deux asymptotes (droites dont les arcs de l'hyperbole se rapprochent indéfiniment sans les couper )..
»
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