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opérateurs

Publié le 13/12/2012

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FORMULAIRE RELATIF AUX OPÉRATEURS rr Soient U et V deux champs scalaires et a et b deux champs vectoriels. 1. Formules portant sur un seul champ: rr r2 1. ?. (? U ) = ? U r r r 2. ? ? (?U ) = 0 rrrr 3. ? . ( ? ? a ) = 0 r rr rrr r 2r 4. ? ? (? ? a ) = ?( ?. a ) - ? a -> soit div(grad U) = ?U ->-> r soit rot (grad U) = 0 ->r r soit div( rot a ) = 0 -> ->r -> r r soit rot (rot a ) = grad(div a ) - ? a 2. Formules portant sur deux champs: r r r 5. ? ( UV) = V ? ( U) + U ? ( V) r rr r rr 6. ?. (U a) = a (?U ) + U ( ?. a ) r r rr r r 7. ? ? (U a ) = ( ?U ) ? a + U (? ? a) rr r rr r rr r 8. ?. ( a ? b) = b. ( ? ? a ) - a. (? ? b) -> -> -> soit grad(UV) = V grad U + U grad V -> r r r soit div(U a ) = grad U. a + U di...

« c.

Rotationnel: * cartésiennes:    rot ® r  a = ¶ a z ¶ y - ¶ a y ¶z       r  e x+ ¶ a x ¶z - ¶ a z ¶ x       r  e y+ ¶ a y ¶ x - ¶ a x ¶ y       r  e z * cylindriques:    rot ® r a = 1 r ¶ a z ¶ q - ¶ a q ¶z       r e r+ ¶ a r ¶z - ¶ a z ¶r       r e q+ 1 r ¶ ( r a q) ¶ r- ¶ a r ¶ q       r e z * sphériques:    rot ® r a = 1 r sin q ¶( a jsin q) ¶ q - ¶ a q ¶ j         r e r+ 1 r 1 sin q ¶a r ¶ j - ¶ ( r a j) ¶ r         r e q+ 1 r ¶ ( r a q) ¶ r- ¶ a r ¶ q       r e j d.

Laplacien: * cartésiennes: D U = ¶ 2U ¶ x 2         + ¶ 2U ¶ y 2         + ¶ 2U ¶ z 2         * cylindriques: D U = ¶ 2U ¶ r 2         + 1 r ¶ U ¶ r      + 1 r 2 ¶2U ¶ q 2         + ¶ 2U ¶ z 2         * sphériques: D U = ¶ 2U ¶ r 2         + 2 r ¶ U ¶ r      + 1 r 2sin 2q ¶2U ¶ j 2         + 1 r 2sin q ¶ ¶ q sin q¶ U ¶ q            4.

Action des opérateurs sur le trièdre de base: a.

coordonnées cylindriques:    rot ® r  e r=r 0 ;    rot ® r e q= r e z r ;    rot® r e z=r 0 pour le rotationnel    div r  e r= 1 r ;    div r e q= 0 ;    div r e z=0 pour la divergence b.

coordonnées sphériques:    rot ® r  e r=r 0 ;    rot ® r  e q= r e j r ;    rot ® r e j= cos q r sin q r e r- r e q r pour le rotationnel    div r e r= 2 r;    div r e q= 1 r tan q ;    div r e j=0 pour la divergence. »

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