Ludwig Wittgenstein

« Trapèze • Un trapèze est un quadriatère dont 2 c6tés opposés sont parallèles.

• la surface d'un trapèze vaut S=(a+c)xll/2 ou a et c sont les longueurs des 2 côtés parallèles et h est la longueur de la hauteur du trapèze (mesure de la distance entre les deux côtés parallèles ).

a c • Son périmètre p vaut p=a+b+c+d.

Rectangle ' • Un redangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits (90") .

a b b a • Sa surface est égale au produit de la largeur (a) par la longueur (b) S•ax lt • Son périmètre p est égal à p•2 1+211 • les diagonales d'un rectangle ont la même longueur .

Call'é • Un carré est un rectangle dont tous les cotés sont égaux.

• Sa surface est égale à la longueur des a a a côtés élevée au carré 5=12 • Son périmètre p est égal à , ...

• les diagonales d'un carré ont la même longueur (comme celles d'un rectangle) et sont perpendiculaires.

AUTRES POLYGONES (N > 4) • Surface (ou aire) .

Il n'existe pas de formule donnant l'aire d'un polygone quelconque.

En revanche , on peut cakuler l'aire d 'un polygone régulier en le divisant en triangles .

l'IMTAGONl(N•S) • Un pentagone est un polygone à s côtés .

•Toutes les diagonales d'un pentagone ont la même longueur.

• Nombre d'or.

On peut calculer le nombre d'or à partir d'un pentagone régulier .

Le nombre d'or est égal à la longueur de la diagonale divisée par la longueur d'un côté .

Construction d'un pentagone et d'un décagone (n = 10) réguliers •Tracer un cercle C 1 de rayon r et de centre O.

•Tracer un diamètre du cerde .

Soit A et 8 les deux extrémités de ce diamètre .

Soit K le milieu du segment [AO].

• Tracer un cerde C 2 de centre K et de rayon r.

Il coupe le segment [ABI en un point M .

•A l'aide d 'un compas, reporter dix fois la longueur OM sur le cercle C 1.

• Joindre les dix points pour obtenir un décagone régulier , et seulement un point sur deux pour obtenir un pentagone régulier convexe.

llDAGONE ( ....

).

• Un hexagone est un polygone à 6 c6tés .

Construction d'un hexagone régulier • Construire un triangle équilatéral et son cerde circonscrit .

• La médiatrice de chaque c6té coupe le cercle en 3 points.

• Les 6 sommets de l'hexagone correspondent à ces 3 points , plus les 3 sommets du triangle .

• Une étoile à 5 branches est un pentagone régulier concave .

On l'appelle pentagramme .

Construction d'un pentagramme fi • Soit un pentagone régulier concav e dont les sommets consécutifs sont A.

B , C.

D et E : en reliant les sommets selon l'ordre ADBEC on obtient un pentagramme .

CERCLES, EWPSES ET PARABOLES œl1 Un cerde est une ligne courbe fermée sur elle même , plane et dont tous les points se trouvent à égale distance d 'un point 0 , le centre du cercle .

Rayon (r ) : distance commune entre le centre et les points du cercle , matérialisée par une portion de droite dont une extrémité est le centre 0, l'autre étant un point du cerde .

Segment : portion de droite limitée à ses deux extrémités par la courbe ducerde.

Diamètre (d) : segment passant par le centre O.

d=2r c.w • cftlfrf 0 ,,.,..,..,.

Circonférence (Q : longueur du cercle (ou périmètre de la surface délimitée par le cerde ).

C=2 ri r Aire, A : surface délimitée par le cerde .

A=rir2 À périmètre égal, le cercle est la figure gëométrique qui présente la plus grande aire.

mmm Une ellipse est.

comme le cercle , une courbe plane fermée, mais telle que la somme des distances de tout point de cette courbe à deux points particuliers, les foyers (f et F'), est constante .

Axes : le segment AA', de plus grande longueur, est le grand axe ; le segment 88', de plus petite longueur, est le petit axe.

Périmètre, P : (voir formule sur la figure du fichier JPEG •ellipse ») Aire , A : lti;f;1:1.UJI Une parabole est une courbe plane telle que chacun de ses points se trouve à égale distance d'une droite (0), B R c appelée directrice et d'un point F, appelé foyer , situé à l'extérieur de la droite.

,.,....

.

,.,,.,.

, «•~(O) .

HM=Mf x' y ' (D) o r H X P= n 2(r+~- 2.l V (H)J 13·1:' [,]ij fj les cerdes , les ellipses et les paraboles sont des coniques : chacune cle ces différentes figures géométriques s'obtient par section d 'un cône par un plan .

p1rabole 9.n ' ' ' ' " • ,, .

' .

' ,: llyperllole Selon la position du plan par rapport à ce cOne circulaire , la figure ainsi obtenue peut être une ellipse, une parabole ou une hyperbole (qui est donc également une conique} .

L'ellipse devient un cerde lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe du cône .

Définition géométrique des coniques On peut définir une conique comme un ensemble de points dont les distances à une droite fixe (directrice) et à un point fixe (foyer) , sont dans un rapport constant Ce rapport, e , est appelé • excentricité • de la conique .

L'excentricité est supérieure à 1 pour l'hyperl>ole , égale à 1 pour la parabole et inférieure à 1 pour l'ellipse .

l!iiJjjl:J.l!il ' 1 1 excentricité e = !.

= MF >1 a ME On obtient une hyperbole lorsque le plan est parallèle à t'axe du cône .

Formée de quatre arcs infinis symétriques, l'hyperbole peut se réduire à deux droites concourantes .

Sa particularité, parmi les coniques, est d 'admettre deux asymptotes (droites dont les arcs de l'hyperbole se rapprochent indéfiniment sans les couper ).. »