Quelle est la méthode des mathématiques ?
Publié le 27/02/2008
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LA MÉTHODE DES MATHÉMATIQUES
? A ? Le problème.
Si l'on admet, avec Stuart Mill, que les objets mathématiques sont abstraits
de l'expérience, la méthode mathématique consistera en une déduction reposant
sur des principes expérimentaux et ses conclusions ne pourront avoir une valeur
apodictique ; si l'on fait, des concepts mathématiques, de simples conventions
ou des réalités intelligibles données, le mathématicien ne pourra qu'analyser
ces concepts ; sa méthode sera la déduction formelle ; or celle-ci est
rigoureuse, sans doute, mais stérile. Poincaré a bien essayé de décrire sous le
nom d'induction complète un raisonnement qui serait à la fois rigoureux et
fécond sans être déductif ; mais cette prétendue induction, ordinairement
appelée raisonnement par récurrence, est en réalité une suite de déductions et
n'a d'ailleurs d'application qu'en arithmétique.
? B ? La démonstration mathématique.
En réalité la méthode des mathématiques est une déduction constructive,
c'est-à-dire un enchaînement logique dé jugements synthétiques a priori rendus
possibles par l'existence d'intuitions pures. Le caractère déductif du
raisonnement explique sa rigueur et le caractère synthétique des propositions
qui le composent explique sa fécondité (Cf. par exemple la démonstration du
théorème sur la somme des angles d'un polygone convexe). La déduction formelle
intervient parfois dans la démonstration pour appliquer un théorème à un cas
particulier, mais il n'y a jamais d'induction et l'intuition empirique
n'intervient qu'à titre de secours pour l'entendement. La démonstration
mathématique est donc entièrement a priori et c'est ce qui fait sa certitude.
? C ? Différentes formes.
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