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Quel(s) rôle(s) joue l'intuition en mathématiques? ?

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Dès lors, si la mathématique est une science très générale et très abstraite, on peut se demander non seulement si l'intuition joue un rôle en mathématique, selon l'intitulé immédiat de la question, mais aussi (et tel est le problème) si le recours à l'intuition se justifie dans le cadre d'une discipline tendant à s'épurer de ses déterminations et de ses spécifications concrètes.B. Discussion1. L'intuition empiriqueL'abstraction et le caractère formel de la discipline mathématique ne doivent pas faire illusion. L'intuition se manifeste dans cette étude à un premier niveau que nul ne saurait nier : elle s'y présente, tout d'abord, sous une forme sensible et empirique. Ce ne sont point, en effet, les seuls yeux de l'esprit que requiert l'exercice mathématique, mais bien aussi ceux des sens. Sans doute l'objet des mathématiques est-il a priori, produit sous un mode non empirique, mais le triangle (purement intelligible) ne prend lui-même de sens et de valeur que dans l'expérience. Ainsi l'intuition concrète est-elle toujours plus ou moins à l'oeuvre dans le raisonnement mathématique, qu'elle pénètre en permanence. Ce sont bel et bien des figures empiriques que le géomètre trace sur le tableau noir, même si elles figurent de pures notions abstraites. A quoi sert ici l'intuition concrète?

 Analysez bien toutes les acceptions de l'intuition, terme qui peut recevoir une multiplicité de sens.

 le recours à l'intuition se justifie-t-il dans une discipline qui tend à se dégager de toute détermination concrète ?

 

« 2. L'intuition pure a priori Si l'intuition concrète et empirique soutient le raisonne ment mathématique et lui permet de ne point s'égarer dans lapure sphère de l'idéalité, une seconde forme d'intuition (pure, a priori) est présente dans l'exercice mathématique.En effet, un espace pur a priori — une intuition non empirique de l'espace — peut être posé par abstraction etreprésente l'objet par excellence de la géométrie, comme Kant l'a montré avec éclat dans la Critique de la raisonpure. Quand nous détachons de la représentation d'un corps cequi est pensé par l'entendement, comme la substance ou la divisibilité, mais aussi ce qui appartient à la sensationcomme l'impénétrabilité, la dureté ou la couleur, il reste encore cependant quelque chose : l'étendue et la figure.Celles-ci appartiennent à l'intuition pure qui réside a priori dans l'esprit, même indépendamment d'un objet réel dessens ou de toute sensation, en qualité de simple forme de la sensibilité.Ainsi l'espace est-il une intuition pure a priori, ce n'est point un concept empirique et c'est sur cette intuition purede l'espace que se fonde la géométrie. En effet, les propositions mathématiques sont absolument a priori. Elles nerésultent pas de l'expérience car elles sont universelles et nécessaires. Or l'empirique en tant que tel ne présentejamais ce caractère d'universalité et de nécessité. C'est le caractère a priori de l'espace qui rend compte de lanature des propositions mathématiques : elles tirent leur force et leur validité de l'intuition a priori de l'espace, formemême de l'esprit humain. Les propositions mathématiques sont toujours des jugements a priori, elles comportent unenécessité qui ne peut être tirée de l'expérience, nécessité qui trouve sa source dans l'intuition pure a priori de notreesprit.En résumé, même si l'intuition pure se sensibilise dans le cadre d'une intuition concrète, elle forme bel et bien lenoyau de la géométrie. Elle joue donc un rôle décisif en mathématiques puisque, sans elle, la géométrie perdrait toutobjet. 3. L'intuition créatrice : l'initiative intellectuelle Enfin, l'intuition peut revêtir en mathématiques une troisième forme et jouer ainsi un rôle déterminant. L'intuition, enun troisième sens, c'est l'initiative spirituelle, présente dans tout le champ de la création. Parler d'intuition, c'estparler ici de la puissance de découverte de l'esprit qui invente spontanément les outils mathématiques. Ici,l'imagination, l' « intuition », jouent un rôle prépondérant : de façon imprévisible, elles introduisent des synthèsesnouvelles. Chaque nouvelle définition, chaque nouvelle méthode, représente le fruit de cette intuition créatrice quis'identifie avec la puissance de l'esprit.« Au reste, personne n'a sérieusement contesté le rôle que conserve l'intuition dans la découverte. Les découvertesbouleversantes sont l'oeuvre du génie qui bouscule les méthodes » (R. Blanché, L'axiomatique, p. 83). C. Conclusion Ainsi, même dans le cadre d'une discipline abstraite, souvent formelle, tendant à s'épurer de ses déterminationsconcrètes, le recours à l'intuition demeure nécessaire et se justifie. Nulle formalisation ne saurait expulser l'intuitioncomme contenu a priori de la mathématique et aussi comme dynamisme spirituel. INTRODUCTION Les Mathématiques ont toujours joui aux yeux des philosophes d'un prestige particulier. C'est que, de toutes les »

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