STABILITE STRUCTURELLE

La stabilité structurelle est la propriété que possède un système dynamique de conserver le même portrait topologique de l'espace de phase lors de perturbations ou de modifications du mouvement suffisamment faibles. La perturbation ne porte plus sur les conditions initiales mais sur la loin du mouvment. Il s'agit de la conservation de la nature des singularités et de leur environnement et de la persistance des cycles limites. Intuitivement une situation est structurellement stable quand les situations voisines lui ressemblent. Cette ressemblance peut être définie comme l'existence d'une homéomorphie envoyant les trajectoires des deux situations voisines l'une sur l'autre en conservant le sens des temps croissants. On ne fait donc plus de différence entre une orbite périodique de période une seconde et une orbite périodique de période dix millions d'années. Introduite en 1937 par Andronov et Pontryaguine cette notion a joué un grand rôle historique dans la compréhension du phénomène du chaos( Cf. Dynamique non linéaire et chaos –historique-) et s'est trouvée à l'origine de la théorie des catastrophes. L'importance de cette notion vient de ce que la mise en théorie d'un phénomène s'appuie sur des observations qui ne sont qu'approchées ; il serait catastrophique qu'un perfectionnement de la technique des observations rendit la théorie précédemment élaborée inutilisable en modifiant profondément l'allure des trajectoires. La stabilité structurelle pose des problèmes difficiles, très imparfaitement résolus jusqu'ici : les propositions un peu générales que l'on possède sont peu utilisables, et les propositions utilisables ne portent guère que sur des cas particuliers par exemple pour des systèmes dans le plan. Ainsi tous les systèmes à deux dimensions sont structurellement stables et pour des dimensions supérieures les systèmes chaotiques ( K systèmes) sont structurellement stables.