La méthode algébrique : analyse d'actions plutôt qu'analyse d'objets

On peut regarder comme résolu tout problème où la détermination des nombres inconnus est ramenée à exécuter sur des nombres connus des additions, soustractions, multiplications, divisions ou extractions de racines de degré quelconque ; car on a des procédés certains pour effectuer ces opérations sur tous les nombres entiers, fractionnaires ou incommensurables. Aussi est-ce à cela qu'on cherche à ramener la solution de toutes les questions qui ont pour objet la détermination d'un ou de plusieurs nombres inconnus.... Problème : Un père laisse un héritage de 100 000 francs qui devra être partagé de la manière suivante entre ses trois enfants : la part du second devra être égale au double de celle du premier, moins 20 000 francs, et la part du troisième devra être la moitié de celle du second plus 10 000 francs. Quelles seront ces trois parts ? Il suffit de connaître la première part pour en déduire les deux autres, d'après les conditions qui les lient. Or la détermination de cette inconnue se ramène facilement à la résolution d'une autre question très simple. En effet, la seconde part étant 2 fois l'inconnue moins 20 000, et la troisième la moitié de cela, ou une fois l'inconnue moins 10 000, à laquelle moitié on ajoutera 10 000, ce qui fera une fois l'inconnue, il s'ensuit que les trois parts formeront 4 fois l'inconnue moins 20 000, et cette somme devra être égale à 100 000 francs. L'inconnue devra donc satisfaire à cette autre question : Trouver un nombre tel qu'en le répétant 4 fois, puis retranchant 20 000, on obtienne 100 000. Et il y a réciprocité entre les deux questions puisque 4 fois l'inconnue moins 20 000 est la somme de trois nombres déduits du premier comme les parts doivent se déduire de la première ; il suffira donc que l'inconnue satisfasse à la condition que cette somme soit 100 000 pour qu'elle satisfasse à la question proposée La première part sera donc 30 000 francs, et par suite la seconde sera 40 000 francs et la troisième 30 000 francs... ce qu'il est facile d'ailleurs de vérifier ; et cette vérification ne serait autre chose que la démonstration synthétique de la solution. Mais on voit que la marche synthétique, qui peut bien prouver qu'on a découvert la solution, est impropre à la faire découvrir. La marche que nous avons suivie est analytique, puisque nous avons ramené le problème à un autre... que nous avons pu résoudre ; mais cette analyse n'est pas une décomposition de la chose à connaître, en parties que l'on chercherait séparément pour en former le tout qui était à trouver. Ce n'est donc pas l'analyse de Condillac. DUHAMEL.