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Correction de l'épreuve de mathématiques du CRPE 2007 du sujet de Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg Denis Vekemans * Exercice 1 1.

Publié le 05/04/2015

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Correction de l'épreuve de mathématiques du CRPE 2007 du sujet de Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg Denis Vekemans * Exercice 1 1. Si a et b sont entiers naturels, RDE (a, b) désigne le reste de la division euclidienne de a par b et QDE (a, b) désigne le quotient de la division euclidienne de a par b. o 5 + 7 + 9 = 21, RDE (21, 6) = 3 (en effet, 21 = 3 × 6 + 3), RDE (21, 3) = 0 (en effet, 21 = 7 × 3 + 0) ; o 15+17+19 = 51, RDE (51, 6) = 3 (en effet, 51 = 8 × 6+3), RDE (51, 3) = 0 (en effet, 51 = 17 × 3+0) ; o 1527 + 1529 + 1531 = 4587, RDE (4587, 6) = 3 (en effet, 4587 = 764 × 6 + 3), RDE (4587, 3) = 0 (en effet, 4587 = 1529 × 3 + 0). 2. Les trois entiers impairs consécutifs sont notés 2 × k + 1, 2 × k + 3, 2 × k + 5. La somme de ces trois entiers est N = 6 × k + 9. (a) N = 6 × k + 9 = 6 × (k + 1) + 3 puis QDE (N, 6) = k + 1 et RDE (N, 6) = 3 (le reste est bien inférieur strictement au diviseur). (b) N = 6 × k + 9 = 3 × (2 × k + 3) puis QDE (N, 3) = 2 × k + 3 et RDE (N, 3) = 0 (le reste est bien inférieur strictement au diviseur). 3. Les trois entiers impairs consécutifs sont notés 2 × k + 1, 2 × k + 3, 2 × k + 5. La somme de ces trois entiers est N = 6 × k + 9. N = 6 × k + 9 = 12027 ==> 6 × k = 12027 - 9 = 12018 ==> k = 12018 6 = 2003. Les trois entiers impairs consécutifs sont 2 × 2003 + 1 = 4007, 2 × 2003 + 3 = 4009, 2 × 2003 + 5 = 4011. 4. On suppose p entier naturel non nul. o 1 entier impair n'est pas forcément multiple de 5 (contre-exemple : 1) ; o une somme de 2 entiers impairs consécutifs n'est pas forcément multiple de 5 (contre-exemple : 1 + 3 = 4) ; o une somme de 3 entiers impairs consécutifs n'est pas forcément multiple de 5 (contre-exemple : 1 + 3 + 5 = 9) ; * Université du Littoral Côte d'Opale ; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France 1 CRPE Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg 2007 o une somme de 4 entiers impairs consécutifs n'est pas forcément multiple de 5 (contre-exemple : 1 + 3 + 5 + 7 = 16) ; o mais une somme de 5 entiers impairs consécutifs est toujours multiple de 5. En effet, si les cinq entiers impairs consécutifs sont notés 2 × k + 1, 2 × k + 3, 2 × k + 5, 2 × k + 7, 2 × k + 9. La somme de ces cinq entiers est N = 10 × k + 25. N = 10 × k + 25 = 5 × (2 × k + 5) d'où N est multiple de 5. La plus petite valeur de p possible est 5 car 5 répond à la condition et ni 1, ni 2, ni 3, ni 4 ne répondent à la condition. Questions complémentaires 1. Phase 1 : Qu'en est-il d'une procédure d'élève ? HYPOTHESE 1. Probablement, l'élève va disposer librement 3, 4 ou 5 bâtonnets dans chaque boîte mise à sa disposition (au hasard ou de façon réfléchie) ... De deux choses l'une, - soit sa proposition remplit les conditions imposées et dans ce cas, il doit la valider, - soit sa proposition ne remplit pas les conditions imposées (il lui reste des bâtonnets à répartir, une boîte contient moins de 2 (au sens large) ou plus de 5 (au sens large) bâtonnets, ...) et dans ce cas, il doit prendre en compte son essai pour essayer de le corriger ... HYPOTHESE 2. L'élève dispose les boîtes en cercle et distribue les bâtonnets 1 par 1 dans les boîtes en tournant toujours dans le même sens jusqu'à avoir épuisé tous les bâtonnets. Le terme "objectifs" dans l'énoncé n'est pas clair : les auteurs du sujet attendent-t-il - des objectifs disciplinaires ? Des compétences de cycle 2 à acquérir : ... - des objectifs transversaux ? Le rôle du travail en groupe, le rôle de la vérification, ... - des objectifs de la phase 1 relatifs à la séance ? Préparer la phase 2 ! Là, probablement "non", à la lecture de la question 3. Le livre d'accompagnement des programmes de cycle 2 donne comme compétences mobilisables lors de la résolution de problème : (a) faire des hypothèses et les tester ; (b) élaborer...

« CRPEBesançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg 2007 •une somme de 4entiers impairs consécutifs n’est pas forcément multiple de 5(contre-exemple : 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ) ; • mais une somme de 5entiers impairs consécutifs est toujours multiple de 5. En effet, si les cinq entiers impairs consécutifs sont notés 2× k+ 1 ,2 × k+ 3 ,2 × k+ 5 ,2 × k+ 7 ,2 × k+ 9 . La somme de ces cinq entiers est N= 10 ×k+ 25 .N = 10 ×k+ 25 = 5 ×(2 ×k+ 5) d’oùNest multiple de 5 . La plus petite valeur de ppossible est 5car 5répond à la condition et ni 1, ni 2, ni 3, ni 4ne répondent à la condition. Questions complémentaires 1. Phase 1 : Qu’en est-il d’une procédure d’élève ? HYPOTHESE 1 . Probablement, l’élève va disposer librement 3, 4 ou 5bâtonnets dans chaque boîte mise à sa disposition (au hasard ou de façon réfléchie) ... De deux choses l’une, – soit sa proposition remplit les conditions imposées et dans ce cas, il d oit la valider, – soit sa proposition ne remplit pas les conditions imposées (il lui reste des bâtonnets à répartir, une boîte contient moins de 2(au sens large) ou plus de 5(au sens large) bâtonnets, ...) et dans ce cas, il doit prendre en compte son essai pour essayer de le corriger ... HYPOTHESE 2 . L’élève dispose les boîtes en cercle et distribue les bâtonnets 1par 1dans les boîtes en tournant toujours dans le même sens jusqu’à avoir épuisé tous le s bâtonnets. Le terme "ob jectifs" dans l’énoncé n’est pas clair : les auteurs du suj et attendent-t-il – des ob jectifs disciplinaires ? Des compétences de cycle 2 à acquérir : ... – des ob jectifs transversaux ? Le rôle du travail en groupe, le rôle d e la vérification, ... – des ob jectifs de la phase 1 relatifs à la séance ? Préparer la phase 2 ! Là, probablement "non", à la lecture de la question 3. Le livre d’accompagnement des programmes de cycle 2 donne comme co mpétences mobilisables lors de la résolution de problème : (a) faire des hypothèses et les tester ; (b) élaborer une démarche pertinente afin de produire une solution p ersonnelle ; (c) organiser par un raisonnement différentes étapes d’une résolu tion ; (d) vérifier par eux-mêmes les résultats obtenus ; (e) formuler une réponse dans les termes du problème ; (f ) expliquer leurs méthodes, les mettre en débat, argumenter. Comme ob jectifs de la phase 1, on peut poser : (a) faire des hypothèses et les tester (c’est-à-dire tâtonner) ; (b) élaborer une démarche pertinente afin de produire une solution p ersonnelle (c’est-à-dire revenir sur des essais infructueux, par exemple). Denis Vekemans –2/7– Mathématiques »

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