addition (mathématiques) - mathématiques.

addition (mathématiques) - mathématiques. 1 PRÉSENTATION addition (mathématiques), opération élémentaire de l'arithmétique, symbolisée par le signe + (« plus «). Si l'on ajoute quatre pommes dans un panier qui en contient déjà cinq, on peut calculer le nombre total de pommes dans le panier en les comptant une par une : on obtient alors neuf pommes ; neuf est la somme de quatre et de cinq. Cependant, il est bien plus simple d'utiliser l'addition, qui permet de calculer la somme beaucoup plus facilement : 4 + 5 = 9. Dans ce but, il convient de mémoriser les opérations de base résultant des combinaisons les plus simples, celles des chiffres. La table suivante indique les sommes de deux chiffres quelconques de 0 à 9 : Pour trouver la somme de deux chiffres quelconques entre 0 et 9, on repère d'abord le premier des chiffres dans la colonne de gauche de la table, puis l'autre chiffre dans la rangée horizontale du haut. Leur somme correspond alors au nombre situé à l'intersection de la rangée et de la colonne considérées. 2 PROPRIÉTÉS L'addition est une opération commutative et associative. Pour tous nombres x, y et z, il existe les égalités suivantes : x + y = y + x, relation qui traduit la commutativité de l'addition. (x + y) + z = x + (y + z), relation qui traduit l'associativité de l'addition. L'addition possède un élément neutre, le zéro. En effet, pour tout nombre x, on a x + 0 = x. 3 ADDITION D'ENTIERS NATURELS L'addition permet de sommer rapidement une série de nombres entiers, appelés aussi entiers naturels (voir nombres). Par exemple, pour effectuer l'addition 27 + 32 + 49, on pourrait tout d'abord compter jusqu'à 27, puis continuer en ajoutant 32 fois 1, et enfin terminer l'opération en ajoutant 49. Mais si l'on range les nombres de manière à placer toutes les unités dans une colonne et toutes les dizaines dans une autre colonne, l'addition de ces trois nombres devient beaucoup plus simple : En premier lieu, on procède à l'addition des unités : on obtient un total de 7 + 2 + 9 = 18. On additionne ensuite les chiffres situés dans la colonne des dizaines, obtenant un total de 2 + 3 + 4 = 9. Ce deuxième résultat signifie 9 dizaines, soit 90. On peut résumer les deux additions que l'on vient d'effectuer de la manière suivante : La dernière étape consiste alors à additionner le total des unités au total des dizaines. Cette procédure peut être raccourcie en portant en retenue le 1 du 18 (somme des unités) au-dessus de la colonne des dizaines, puis en l'ajoutant directement aux chiffres de cette colonne. Ainsi, on peut écrire : Les chiffres de la colonne des dizaines étant additionnés, on obtient pour finir 27 + 32 + 49 = 108. Le principe de la retenue s'applique, en fait, à tous les rangs : dizaines, centaines, milliers et autres rangs supérieurs. 4 ADDITION D'ENTIERS RELATIFS Lorsque l'on effectue une addition de deux entiers relatifs (voir nombres), trois cas peuvent se présenter. Si les deux nombres à sommer sont positifs, on se retrouve dans le cas d'une addition d'entiers naturels (voir ci-dessus). Si les deux nombres à additionner sont négatifs, la somme obtenue est également négative, sa valeur absolue étant la somme des valeurs absolues des deux nombres additionnés. Par exemple, (- 4) + (- 8) = - 12. Enfin, lorsqu'on additionne deux nombres de signe contraire, le résultat correspond à la différence entre les valeurs absolues des deux nombres, affectée du signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue. Ainsi, (- 5) + (+ 6) = + 1 et (+ 2) + (- 3) = - 1. En effet, dans la première opération, on a + 6 > -5. On effectue donc 6 - 5 = 1. Le résultat est affecté du signe positif, car le nombre positif possède la valeur absolue la plus élevée. En revanche, dans la seconde opération, on a - 3 > 2. La somme obtenue est - (3 - 2) = - 1. 5 ADDITION DE FRACTIONS On dit que q est une fraction ou un nombre rationnel (voir nombres) s'il existe deux entiers p et n (n étant non nul), tels que : p est appelé le numérateur de la fraction, et n le dénominateur. Tout comme les entiers naturels et relatifs, les fractions peuvent être additionnées de manière simple, comme l'illustre l'exemple suivant : ?d'un gâteau plus y de ce gâteau est égal à ? du gâteau. Lorsque l'on procède à l'addition de deux fractions, deux cas peuvent se présenter, selon que les fractions possèdent ou non le même dénominateur. Si les deux fractions ont le même dénominateur, leur somme est égale à la fraction ayant pour numérateur la somme des numérateurs des deux fractions, et pour dénominateur le dénominateur commun aux deux fractions initiales. Ainsi, Cette manière de procéder peut s'appliquer à une somme de plus de deux fractions, à condition que ces fractions aient toutes le même dénominateur. Lorsque les dénominateurs des fractions sont différents, il faut alors transformer ces fractions en fractions équivalentes, de manière à obtenir des fractions ayant un dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun à plusieurs fractions est égal au plus petit commun multiple (PPCM) de leurs dénominateurs (voir arithmétique). Considérons l'expression ? + ? , où les fractions ont des dénominateurs différents. Étant donné que le PPCM de 3 et 4 est 12, on remplace les fractions ? et ? par des fractions équivalentes de dénominateur égal à 12. Puisqu'il est possible de multiplier le numérateur et le dénominateur de fractions par le même nombre sans en changer la valeur, on peut écrire : On peut alors calculer la somme des deux fractions obtenues : 6 ADDITION DE NOMBRES DÉCIMAUX Dans le système décimal (voir nombres), comme les chiffres situés de part et d'autre de la virgule représentent des puissances (voir exposant) de dix, l'addition des nombres décimaux s'effectue de manière similaire à celle des entiers naturels. Lorsqu'on pose l'opération, il suffit de placer les virgules des nombres concernés les unes sous les autres, de façon à positionner les dizaines sous les dizaines, les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes, et ainsi de suite. De cette façon, on est sûr qu'à chaque étape tout chiffre est additionné à un chiffre de même rang. Par exemple, pour ajouter 365,289 à 32,4, on pose l'addition : On effectue ensuite l'opération afin d'obtenir : L'ajout de zéros après 32,4 ne change pas la valeur du nombre, mais permet de placer les chiffres de même rang (dixièmes, centièmes, etc.) les uns en dessous des autres. Voir aussi boulier (mathématiques). Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.