analyse (mathématiques) - mathématiques.

analyse (mathématiques) - mathématiques. 1 PRÉSENTATION analyse (mathématiques), branche des mathématiques qui étudie les concepts liés aux notions de limite et de continuité, intervenant notamment dans la théorie des fonctions. L'évolution de cette partie des mathématiques a contribué au développement de l'ensemble des sciences physiques du XVIIe au XIXe siècle. 2 ORIGINES Les premiers travaux d'analyse remontent approximativement aux Ve et IVe siècles av. J.-C., lorsque les Grecs Antiphon et Eudoxe mettent au point la méthode dite d'exhaustion, permettant de déterminer une valeur approchée de l'aire d'un cercle en calculant celle de polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle. Cette méthode, qui permet à Archimède de déterminer un grand nombre d'aires de surfaces et de volumes curvilignes (cylindres, cônes, sphères, etc.), est reprise par les mathématiciens arabes du IXe siècle apr. J.-C. Même si ces aires et volumes ne sont pas écrits sous la forme d'intégrales, on peut considérer que cette époque marque la naissance timide du calcul infinitésimal. Ainsi, le mathématicien arabe Thabit ibn Qurra est le premier à déterminer l'équivalent de l'intégrale de la fonction racine carrée ?x. 3 ESSOR DE L'ANALYSE INFINITÉSIMALE Au XIVe siècle, les études du mouvement par Galilée conduisent les mathématiciens à adopter une écriture systématique des variables, aboutissant à la création de la géométrie analytique. Cette représentation permet de formuler de manière générale le calcul des aires et des tangentes, auquel s'intéressent durant le siècle suivant Fermat, Descartes ou encore Pascal. L'unification et la systématisation de ces travaux s'effectuent pendant le XVIIe siècle, sous l'impulsion notamment de Newton et de Leibniz, qui créent l'analyse moderne. Tout d'abord, Newton, vers 1670, développe le calcul différentiel pour établir les principales lois de la mécanique classique. Puis Leibniz, en 1673, découvre indépendamment de Newton le calcul des dérivées, puis le calcul intégral en 1676. Si tous deux saisissent le lien entre le calcul des aires et celui des tangentes, c'est Leibniz qui impose sa vision de l'analyse infinitésimale. Les frères Bernoulli complètent, par la suite, les travaux de Leibniz, suivis par beaucoup d'autres mathématiciens du XVIIIe siècle. Le Français Lagrange introduit ainsi la notion de dérivée en la rattachant à des calculs purement algébriques. Mais ce développement de l'analyse souffre encore de l'absence de concepts de base rigoureux, tels qu'ils seront définis au XIXe siècle. 4 EXTENSION DE L'ANALYSE Durant le XVIIIe siècle, la découverte du calcul infinitésimal ouvre la voie à l'étude des phénomènes physiques par le biais d'équations différentielles. Par exemple, le mathématicien français d'Alembert résout le problème des cordes vibrantes à l'aide d'une équation aux dérivées partielles. Les équations différentielles deviennent peu à peu un objet d'études à part entière, tout en demeurant intimement liées aux sciences physiques. Le XVIIIe siècle est également l'époque où les mathématiciens, comme le Suisse Euler, commencent à manipuler les séries et les produits infinis. Bien vite, ils se heurtent à des problèmes de convergence et de continuité, auxquels s'attelle le Français Cauchy dans les années 1820. Ce dernier redéfinit aussi avec rigueur la notion de limite introduite par d'Alembert, notion qui est ensuite complétée par l'Allemand Weierstrass. C'est également au XIXe siècle qu'est établie la théorie des fonctions, notamment par le mathématicien allemand Riemann. Celui-ci fait le lien avec l'analyse des surfaces, donnant naissance à la topologie, qui se développera au XXe siècle. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.