angle - mathématiques.

angle - mathématiques. 1 PRÉSENTATION angle, figure formée par deux demi-droites ayant même origine ou deux demi-plans ayant même bord (angle dièdre). La mesure d'un angle s'exprime en degrés (symbole °), en radians (symbole rad) ou en grades (symbole gr). La mesure en degrés est très utilisée dans l'industrie et en astronomie, tandis que celle en radians est préférée en mathématiques car elle simplifie les calculs (notamment l'expression des dérivées des fonctions trigonométriques). Le grade n'est plus guère employé, excepté en topographie et en géodésie. 2 ANGLE ORIENTÉ En trigonométrie, un angle est une grandeur algébrique. On peut le définir en considérant deux segments [OA] et [OB]. Supposons que le segment [OA] soit fixe et qu'un segment [OX] puisse tourner autour du point O. Le segment [OX] arrive en sa position finale en laquelle il définit un angle (voir figure 1A). [OA] et [OB] sont les côtés de l'angle et le point O son sommet. La mesure de cet angle est positive si la rotation du segment [OX] se fait dans le sens contraire à celui de la rotation des aiguilles d'une montre. Ce sens est appelé sens trigonométrique. Si la rotation s'effectue dans l'autre sens (celui des aiguilles d'une montre), l'angle est alors négatif (voir figure 1B). En trigonométrie, deux angles sont égaux si les rotations correspondantes ont lieu dans le même sens et avec la même mesure. Ainsi, l'angle défini sur la figure 1C n'est pas égal à celui de la figure 1A. Deux angles particuliers importants sont l'angle plat et l'angle droit. (Voir figures.) 3 MESURE EN RADIANS Un radian correspond à la mesure de l'angle dont le sommet est au centre d'un cercle, et qui intercepte sur ce cercle un arc de même longueur que le rayon du cercle. La mesure ? d'un angle exprimée en radians est donc égale au rapport de la longueur s de l'arc qu'il intercepte sur un cercle à la mesure du rayon r de ce cercle (voir figure 2). On a ? = s/r. Par conséquent, un angle plat vaut p radians, un angle droit vaut p/2 radians. 4 MESURE EN DEGRÉS Un degré correspond à la mesure de l'angle dont le sommet est au centre d'un cercle, et qui intercepte un arc de longueur égale au 1/360 de la circonférence du cercle. Le degré est une unité sexagésimale, en effet il est divisé en 60 minutes (symbole '), elles-mêmes divisées en 60 secondes (symbole "). Un angle plat vaut donc 180°, et un angle droit 90°. La mesure des angles est utilisée dans les systèmes de coordonnées géographiques et astronomiques. Par exemple, pour localiser un point sur la Terre, on utilise généralement sa latitude et sa longitude, qui correspondent aux distances angulaires de ce point par rapport à deux cercles de référence, respectivement l'équateur et le méridien de Greenwich. Ces distances angulaires (mesurées donc sur les méridiens et parallèles de ce point) s'expriment en degrés. Si la Terre était parfaitement sphérique, un arc de méridien de un degré serait égal à 1/360 de la circonférence d'un cercle tracé sur la surface de la Terre passant par les pôles Nord et Sud. En fait, la Terre étant aplatie aux pôles, la longueur réelle d'un tel arc varie de l'équateur aux pôles. À l'équateur, elle vaut environ 110,57 km, alors qu'à une latitude de 45° nord ou sud elle vaut à peu près 111,25 km. De même, la longueur d'un arc de parallèle de un degré varie de l'équateur, où elle est maximale, jusqu'à devenir nulle aux pôles Nord et Sud. Ainsi, à l'équateur, elle vaut 112,09 km, tandis qu'à 40° nord ou sud elle correspond à 85,99 km. La longitude se mesure également en heures et minutes, une heure équivalant à une distance angulaire de 15 degrés et une minute à 15 minutes d'angle. Voir aussi Latitude et longitude. 5 CONVERSIONS On peut écrire 2p rad = 360°. Par conséquent, on peut appliquer les approximations suivantes 1° = 0,01745 rad et 1 rad = 57,3°. Autrement dit, si ? est la mesure d'un angle en radians et  celle du même angle exprimé en degrés, on a : Par ailleurs, on a aussi l'égalité suivante : 90° = 100 gr. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.