arithmétique - mathématiques.

arithmétique - mathématiques. 1 PRÉSENTATION arithmétique, branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers naturels, des entiers relatifs et des nombres rationnels. 2 HISTORIQUE On peut considérer que, dès l'époque préhistorique, les hommes ont utilisé leurs doigts pour compter ou effectuer des calculs sommaires. L'emploi de symboles pour désigner les nombres apparaît sans doute en Mésopotamie, vers 2000 av. J.-C, où l'on a retrouvé des tablettes babyloniennes couvertes de chiffres en base 60. Puis viennent les systèmes de numération égyptiens, grecs et romains. C'est en Grèce qu'est fondée l'arithmétique théorique par les pythagoriciens au VIe siècle av. J.-C. (voir Pythagore). À cette époque, les mathématiciens grecs savent déjà manipuler des notions arithmétiques comme les proportions, les moyennes, ou encore les progressions ( voir arithmétique, progression ; géométrique, progression). Tout ce savoir a été, par la suite, regroupé dans les Éléments d'Euclide. Au Moyen Âge, l'arithmétique ne connaît qu'un faible développement, si ce n'est l'adoption des chiffres indiens, transmis par l'intermédiaire des Arabes. Le mathématicien italien Leonardo Fibonacci contribue pour beaucoup à l'utilisation de ces chiffres, en diffusant les connaissances mathématiques arabes dans son ouvrage Liber abbaci (1202). À partir du XVIe siècle, l'arithmétique progresse à grands pas, grâce aux travaux de Cardan, Tartaglia, Viète et Fermat, qui étudient notamment les nombres premiers et les suites. En 1617, Napier introduit le symbole de la virgule dans l'écriture décimale, après avoir inventé les logarithmes trois ans plus tôt. Aux XVIIe et XVIIIe siècles, la plupart des grands mathématiciens, tels Lagrange, Euler et Gauss, s'intéressent de près ou de loin à l'arithmétique. En 1801, Gauss publie Disquisitiones arithmeticae, traité qui marque un tournant dans l'histoire de l'arithmétique, puisqu'il peut être considéré comme l'ouvrage fondateur de la théorie des nombres. Cette discipline fournit une nouvelle approche de l'arithmétique, utilisant des outils venant d'autres branches des mathématiques, comme les fonctions analytiques ou la théorie des groupes. Dès lors, l'histoire de l'arithmétique se confond avec celle de la théorie des nombres, que des mathématiciens comme Galois ou Dirichlet sauront mettre à profit. 3 OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES Il existe quatre opérations fondamentales en arithmétique : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. 3.1 Addition L'addition est représentée par le symbole + (« plus «). Si l'on ajoute cinq fichiers à un dossier en comportant déjà quatre, on peut calculer le total de ces fichiers en les comptant un par un, ce qui nous donne neuf fichiers. L'addition est une opération qui résume et simplifie ce calcul : 5 + 4 = 9 . Ce même résultat est obtenu si l'on additionne 4 à 5 : l'addition est commutative. Voir addition (mathématiques). 3.2 Soustraction Représentée par le symbole - (« moins «), la soustraction est souvent considérée comme l'opération opposée de l'addition. Pour soustraire 23 à 66, on pourrait compter à rebours un par un 23 fois, mais les règles de la soustraction permettent d'obtenir la réponse plus rapidement : 66 - 23 = 43. Lorsqu'on se place dans l'ensemble des entiers naturels, le nombre le plus grand doit être celui dont on retire (ou soustrait) un nombre plus petit afin que le résultat obtenu soit bien un entier naturel. En revanche, si la soustraction a lieu dans l'ensemble des entiers relatifs, cette condition n'est plus nécessaire. Pour deux nombres quelconques a et b, on peut effectuer les deux opérations a - b et b - a, ce qui donne deux résultats différents de signe contraire, appelés opposés. L'écriture symbolique permet ainsi d'écrire a - b = - (b - a). Cette particularité montre que la soustraction n'est pas commutative. Voir soustraction. 3.3 Multiplication La multiplication est généralement indiquée par le symbole × (« fois «), mais également par un point ou des parenthèses. Ainsi, le produit de 3 par 4 peut être symbolisé par 3 × 4, 3.4 ou encore (3)(4). On peut assimiler la multiplication à une addition répétée. Par exemple, l'expression 3 × 4 (« trois fois quatre «) signifie que 4 doit être ajouté à lui-même trois fois (4 + 4 + 4). On montre qu'on obtient le même résultat si 3 est ajouté à lui-même quatre fois (3 + 3 + 3 + 3). Dans les deux cas, le résultat est identique : la multiplication est commutative. Voir multiplication. 3.4 Division La division, que l'on peut considérer comme l'opération inverse de la multiplication, se note de diverses manières. Ainsi, 12 divisé par 4 peut s'écrire 12 ÷ 4, 12/4 ou encore ? Cette opération permet de déterminer combien de fois un nombre donné . (différent du zéro), appelé diviseur, est contenu dans un autre, appelé dividende. La division euclidienne est une division propre aux entiers relatifs : si a et b sont deux entiers relatifs, b étant non nul, il existe deux entiers relatifs uniques q et r tels que a = bq + r, avec 0 <= r <= b - 1, où q est appelé le quotient de la division de a par b, et r le reste de cette division. Dans ce cadre, on dit qu'un entier n est divisible par un entier p si et seulement si le reste de la division de n par p est égal à 0 : p est alors un diviseur de n. Si le reste est non nul, on peut placer une virgule derrière le quotient et continuer cette division. Le quotient obtenu à la fin n'appartient donc plus à l'ensemble des entiers, mais à celui des rationnels. Voir division. 4 ENSEMBLES D'APPLICATIONS En arithmétique, on utilise trois types de nombres : les entiers naturels, les entiers relatifs et les nombres rationnels. L'ensemble des entiers naturels, noté , regroupe les nombres usuels servant à compter : 1, 2, 3, 4, 5, etc. Tout au long de l'histoire, les peuples ont inventé différents systèmes de numération. Celui qui est aujourd'hui en vigueur dans toutes les cultures modernes dénombre les objets par groupes de dix. Il s'agit du système de numération à base 10, dit système décimal. Les entiers relatifs représentent l'ensemble des entiers positifs et négatifs, noté . La valeur absolue d'un nombre relatif est égale à ce même nombre s'il est positif, et à son opposé s'il est négatif. En notation symbolique, la valeur absolue d'un nombre a est notée a. Les nombres rationnels appartiennent à l'ensemble des nombres issus de la division d'un entier relatif par un autre. Cet ensemble, noté , réunit en fait tous les nombres fractionnaires, symbolisés par des fractions telles que 1/3, 3/4, - 5/7, etc. Ainsi, le quotient - 3/7, issu de la division de 3 par - 7, n'est pas uniquement l'écriture de cette division mais également un nombre rationnel. Voir nombres. 5 NOMBRES PREMIERS Un nombre premier est un nombre entier qui n'admet pour diviseurs que 1 et lui-même. Par conséquent, le seul nombre premier pair est 2. L'ensemble des nombres premiers est infini. Il a comme plus petits éléments 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19. On peut démontrer que tout nombre entier non premier est, d'une façon unique, le produit de nombres premiers. Considérons par exemple le nombre 50. D'après le théorème précédent, il n'existe qu'une seule manière d'écrire (ou de décomposer) 50 comme un produit de facteurs premiers, à savoir : 50 = 2 × 5 × 5 = 2 × 52. Voir premiers, nombres. 6 PPCM ET PGCD Le plus petit commun multiple (PPCM) de plusieurs nombres est le plus petit nombre admettant pour diviseurs chacun des nombres considérés. Ce PPCM contient donc tous les facteurs premiers apparus lors des décompositions de ces nombres. Par exemple, pour calculer le PPCM des nombres 27, 63 et 75, on décompose d'abord chaque nombre en produit de facteurs premiers : 27 = 33, 63 = 32 × 7, et 75 = 3 × 52. Le PPCM devant contenir au moins les facteurs 33, 7 et 52, on obtient par conséquent 33 × 7 × 52 = 4 725. Le plus grand commun diviseur (PGCD) de plusieurs nombres correspond au plus grand facteur commun de ces nombres. Par exemple, 3 est le PGCD de 9, 15 et 27, ce qui peut se voir immédiatement en examinant les décompositions en produit de facteurs premiers de chacun des nombres : 9 = 32, 15 = 3 × 5, 27 = 33. En effet, le seul facteur commun à tous ces nombres est 3. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.