chiffres - mathématiques.

chiffres - mathématiques. 1 PRÉSENTATION chiffres, symboles utilisés pour représenter les nombres. 2 CHOIX D'UNE BASE Les premières formes de notation numérale étaient de simples groupes de traits (ou encoches) verticaux ou horizontaux, chaque trait correspondant au chiffre 1. Comme ce type de système était peu pratique pour écrire de grands nombres, les peuples anciens ont adopté un mode de comptage par paquets, en utilisant une base. La base d'un système de numération est égale au nombre de symboles nécessaires pour représenter n'importe quel nombre : plus la base est grande, plus le nombre de symboles à manier est élevé ; plus la base est petite, plus l'écriture d'un nombre donné nécessite de caractères. Le système décimal a été la base la plus courante chez les peuples de l'Antiquité. Ainsi, dès le IVe millénaire av. J.-C., un symbole spécifique a été adopté pour le nombre 10 en Égypte. Grâce à l'ajout de ce deuxième signe, il devenait désormais possible d'exprimer le nombre 11 avec seulement deux caractères au lieu de onze. De même, l'écriture du nombre 99 ne nécessitait plus que 18 symboles, à la place des 99 utilisés jusque-là. Par la suite, les Égyptiens ont introduit des symboles supplémentaires pour un nombre compris entre 1 et 10, ainsi que pour certains multiples de 10. D'autres systèmes de notation ont été utilisés dans l'Antiquité. Par exemple, les Babyloniens ont eu recours au système sexagésimal (base 60), les Romains ont employé dans certains cas le système duodécimal (base 12), les Mayas ont adopté le système vicésimal (base 20). 3 TYPES DE NUMÉRATION On peut classer les types de numération en trois catégories : les numérations additives, les numérations hybrides et les numérations de position. Dans un système de numération additive, chaque nombre est représenté par une juxtaposition de caractères dont la somme est égale au nombre considéré. Ainsi, chez les Aztèques où la vingtaine était symbolisée par une hache, le nombre 60 s'exprimait par trois haches (20 + 20 + 20). Un système de numération hybride utilise non seulement l'addition, mais aussi la multiplication. Cette fois, la juxtaposition de deux caractères peut signifier leur produit. Par exemple, dans un tel système, le nombre 60 peut s'exprimer sous la forme de deux symboles correspondant aux chiffres 6 et 10 (6 × 10). La numération de position est fondée sur le principe selon lequel la valeur d'un caractère dépend de sa position dans l'écriture d'un nombre. De ce fait, les seuls chiffres de ce type de numération sont des symboles représentant les unités. On remarque donc que la numération positionnelle implique l'introduction du zéro puisque, pour représenter le nombre 100 par exemple, il faut pouvoir symboliser l'absence de chiffres dans la colonne des dizaines. Ce système exclut ainsi toute ambiguïté de lecture, contrairement aux systèmes de numération additive et hybride. La numération positionnelle apparaît, par conséquent, comme beaucoup plus efficace que les autres types de numération. Née en Inde au Ve siècle, elle a été adoptée trois siècles plus tard par les Arabes qui l'ont diffusée ensuite en Europe. 4 CHIFFRES GRECS Les Grecs ont eu recours à deux types de numération. Le premier était fondé sur les initiales des noms des chiffres : le chiffre 5 était désigné par la lettre p, 10 par la lettre ? , 1 000 par la lettre c et 10 000 par la lettre µ. L'autre type, introduit vers le IIIe siècle av. J.-C., utilisait comme symboles numéraux toutes les lettres de l'alphabet grec, auxquelles s'ajoutaient trois autres signes issus de l'alphabet phénicien. Les neuf premières lettres de l'alphabet grec permettaient d'écrire les chiffres de 1 à 9, les neuf lettres suivantes étaient employées pour les dizaines, de 10 à 90, et les neuf dernières pour les centaines, de 100 à 900. Les milliers étaient indiqués par une barre verticale placée à gauche du chiffre approprié. Ce second système présentait l'avantage de pouvoir exprimer de grands nombres avec un minimum de caractères. En revanche, l'utilisateur d'un tel système était contraint de mémoriser vingt-sept symboles. 5 CHIFFRES ROMAINS Le système de symboles employé par les Romains permet d'exprimer tous les nombres de 1 à 1 000 000 avec seulement sept symboles : I correspond à 1, V à 5, X à 10, L à 50, C à 100, D à 500 et M à 1 000. Dans le système romain, les chiffres se lisent de gauche à droite, ceux placés à gauche représentant les plus grandes quantités. À leur droite sont placés les caractères figurant des quantités immédiatement inférieures, et ainsi de suite. En général, les symboles sont ajoutés les uns aux autres : la numération romaine est additive. Par exemple, LX = 60 et MMCIII = 2 103. Par ailleurs, une petite barre placée sur un chiffre multiplie le chiffre par mille. Grâce à l'emploi des chiffres et de ces barres, il devient théoriquement possible d'exprimer n'importe quel nombre entier. Les chiffres romains sont encore utilisés de nos jours, près de deux mille ans après leur introduction, bien qu'ils soient complètement inadaptés aux calculs écrits rapides. 6 CHIFFRES ARABES Aujourd'hui, le système de notation numérale utilisé dans la quasi-totalité des pays du monde est le système décimal arabe. Mis au point par les Indiens, ce système fut employé en Inde dès le IIIe siècle av. J.-C. À cette époque, les chiffres 1, 4, et 6 s'écrivaient à peu près de la même manière qu'actuellement. Il semble que la numération indienne a été introduite dans le monde arabe vers le VIIe ou le VIIIe siècle apr. J.-C. Les premiers documents attestant de l'usage d'un tel système en Europe datent de 976 apr. J.-C. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.