déterminant - mathématiques.

déterminant - mathématiques. 1 PRÉSENTATION déterminant (mathématiques), objet mathématique se présentant comme un tableau carré de nombres, ou d'autres éléments, entre deux barres verticales, auquel est associée une valeur déterminée par un calcul sur ces nombres, effectué selon certaines règles. Les déterminants sont étudiés pour la première fois, vers 1683, par le mathématicien japonais Seki Kowa et, indépendamment, par le philosophe et mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz, en 1693. Le déterminant est utilisé dans pratiquement toutes les branches des mathématiques et en sciences naturelles. Par exemple, le déterminant ci-dessous représente un déterminant de second ordre : c'est un tableau à deux lignes et deux colonnes. Par définition, ce déterminant est égal à : a11a22 - a12a21. Un déterminant d'ordre n est un tableau carré à n lignes et n colonnes comme le montre la figure suivante : Le mineur Mij de tout élément aij du tableau est le déterminant formé par les éléments restants après avoir supprimé la ligne i et la colonne j. Le cofacteur Aij d'un élément aij est égal à (- 1)i+j Mij. 2 CALCUL DES DÉTERMINANTS La valeur d'un déterminant s'exprime à l'aide des éléments de n'importe quelle ligne (ou colonne) et de leurs cofacteurs respectifs, en respectant la règle suivante : chaque élément de la ligne (ou de la colonne) choisie est multiplié par le cofacteur correspondant ; la somme de ces produits est la valeur du déterminant. S'il est calculé par rapport à la ie ligne, le déterminant est égal à : ou, s'il a été calculé à partir de la je colonne, on a : Ainsi, un déterminant d'ordre 3 peut se calculer à partir des éléments de la première colonne comme ci-après, les déterminants du second ordre étant calculés selon les règles précédemment indiquées. Pour les déterminants d'ordre supérieur à 3, on répète le processus sur les déterminants mineurs jusqu'à obtenir des déterminants faciles à développer. Cette méthode de calcul pouvant s'avérer assez laborieuse, on a recours à plusieurs propriétés d'un déterminant pour limiter le nombre de calculs nécessaires. Parmi ces propriétés, citons les suivantes : -- un déterminant est égal à zéro si tous les éléments d'une ligne (ou d'une colonne) sont identiques ou proportionnels aux éléments d'une autre ligne (ou d'une autre colonne) ; -- un déterminant est multiplié par un facteur donné si chaque élément d'une ligne (ou d'une colonne) est multiplié par ce même facteur ; -- la valeur d'un déterminant n'est pas modifiée si l'on ajoute à chaque élément d'une ligne (ou d'une colonne) l'élément correspondant d'une autre ligne (ou d'une autre colonne), multiplié par un facteur constant. 3 APPLICATIONS L'exemple suivant illustre une application des déterminants en géométrie analytique : si P1 (x1,y1), P2 (x2,y2) et P3 (x3,y3) sont trois points distincts d'un plan muni d'un repère orthonormé, l'aire A du triangle P1P2P3 (sans tenir compte du signe) est donnée par : Quand les trois points sont alignés, le déterminant est égal à zéro. Les déterminants servent également à résoudre des systèmes d'équations linéaires de la façon suivante, les n équations à résoudre étant représentées algébriquement par le système ci-dessous : Construisons un déterminant ? en utilisant les coefficients ci-dessus, et considérons que ?k est le déterminant obtenu en supprimant la ke colonne et en la remplaçant par la colonne de constantes b1, b2, ..., bn. Si ? ? 0, les équations sont compatibles et la résolution du système est possible. La solution est donnée par : Si ? = 0, une étude plus approfondie est nécessaire pour déterminer le nombre et la nature des solutions. Prenons l'exemple suivant : o 2x1 + 3x2 + 4x3 = 6 o x1 + x2 + x3 = 3 o x1 - x2 + x3 = - 1 En calculant ? à partir des règles ci-dessus, on obtient : (2 × 2) - (1 × 7) + 1 × (- 1) = - 4 De la même façon : ? 1 = (6 × 2) - (3 × 7) + (- 1) × (- 1) = - 8 D'où x1 = ?1/? = 2. En calculant ?2 et ?3, on constate que x2 = 2 et que x3 = - 1. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.