fractales - mathématiques.

fractales - mathématiques. 1 PRÉSENTATION fractales, figures géométriques de structure complexe, ayant la propriété de symétrie d'échelle : chacune de leurs parties reproduit leur totalité. De plus, chaque partie d'une courbe fractale a une longueur infinie, ce qui se traduit par une dimension fractale strictement comprise entre 1 et 2. Les fractales sont à la base d'un nouveau système de géométrie, la géométrie fractale, qui permet de représenter des objets très irréguliers tels que les reliefs montagneux, les amas galactiques ou les côtes rocheuses très découpées. 2 CATÉGORISATION DES FRACTALES On distingue trois grands types de fractales : - les ensembles construits en remplaçant itérativement les parties d'un objet initial par une figure fixe, comme l'ensemble de Cantor, la courbe de Koch, les courbes de Peano ou l'éponge de Sierpinski ; - les ensembles définis par l'évolution d'une suite en chaque point d'un espace. Les ensembles de Mandelbrot, de Julia et de Lyapunov en sont des exemples ; - les fractales non déterministes, dont la construction comporte des éléments aléatoires. C'est le cas des modèles de paysages ou de nuages utilisés en Infographie. 3 TOUR D'HORIZON DES FRACTALES CÉLÈBRES 3.1 Courbe de Koch La courbe de Koch, dite « flocon de neige «, constitue un exemple de la première catégorie de fractales. Partant d'un triangle équilatéral, on ajoute au milieu de chaque arête de la figure un triangle équilatéral ayant un côté d'une longueur d'un tiers de l'arête. En répétant ce processus une infinité de fois, la figure obtenue possède alors un périmètre qui tend vers l'infini, tandis que son aire reste limitée. 3.2 Ensemble de Julia En 1918, le mathématicien français Gaston Julia définit les ensembles qui portent maintenant son nom et qui sont classés comme des fractales de la deuxième catégorie. À tout point Z du plan, on associe une orbite, définie comme la suite de points obtenue en appliquant successivement à Z une transformation f. Le plan est alors partagé entre l'ensemble des fugitifs et l'ensemble des prisonniers. Les points Z pour lesquels les points de la suite « s'enfuient « vers l'infini (la distance du point à l'origine du plan devient très grande) constituent l'ensemble des fugitifs. L'ensemble des prisonniers est constitué des points dont l'orbite reste confinée dans un cercle. L'ensemble de Julia associé à f est alors la frontière commune à ces deux ensembles. On appelle Jc l'ensemble de Julia associé au paramètre complexe c = a + ib et la transformation fc : z z² + c, où z est ici l'affixe d'un point de coordonnées (x, y). On a z = x + iy et fc(z) = x² - y² + a + i(2xy + b) est le point de coordonnées (x² - y² + a, 2xy + b). La forme des ensembles de Julia varie considérablement en fonction de la valeur du paramètre c. Dans le cas particulier où c = 0, l'ensemble est un cercle de rayon 1. Pour d'autres valeurs, il prend des formes fractales très complexes pouvant être soit connexes (la frontière est formée d'une seule courbe), soit déconnectées (la frontière est alors fragmentée en une multitude de courbes). Pour certaines valeurs de c, il est très difficile de savoir si l'ensemble est connexe. En effet, les connexions peuvent se faire par un chemin très fin, ou même par un point unique. 3.3 Ensemble de Mandelbrot En 1979, le mathématicien français Benoît Mandelbrot étudie l'ensemble des points C du plan tel que l'ensemble de Julia Jc correspondant est connexe. Il montre qu'il est identifiable à l'ensemble des points d'affixe z = x + iy tels que la suite zn+1 = zn² + z, avec z0 = 0 converge. Cet ensemble est une fractale, appelée ensemble de Mandelbrot. Un programme informatique (algorithme) de quelques lignes permet de la construire. Pour chaque point C de coordonnées (x, y), on calcule les suites suivantes : u0 = v0 = 0 un+1 = un² - vn² + x vn+1 = 2un × vn + y Si les suites ne divergent pas vers l'infini, le point appartient à l'ensemble, sinon il est exclu. En pratique, on définit une valeur seuil, appelée profondeur d'analyse P, et un nombre maximum d'itérations N. Dès que un2 + vn2 > P ou n > N, on arrête le calcul pour ce point et on l'affiche à l'écran avec une couleur dépendant de n. La figure obtenue comporte une structure immédiatement reconnaissable, appelée « oeuf de Mandelbrot «. Cette structure se répète à l'infini et à toutes les échelles. En suivant le long d'une ligne partant de l'origine du repère et traversant la frontière de l'ensemble de Mandelbrot, on peut construire une suite d'ensembles de Julia, ayant pour paramètre c, le point en cours. Le premier ensemble de Julia est alors un cercle, puis, au fur et à mesure que le point se rapproche de la frontière de l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia devient de plus en plus complexe (sa dimension fractale augmente), mais reste connexe jusqu'à ce qu'on dépasse la frontière. L'ensemble de Julia devient alors déconnecté. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.