Gödel, théorèmes de - mathématiques.

Gödel, théorèmes de - mathématiques. 1 PRÉSENTATION Gödel, théorèmes de, théorèmes d'incomplétude formulés par Kurt Gödel. En logique, on dit qu'une théorie présente une incomplétude si elle comporte une formule ne pouvant être ni démontrable ni réfutable. 2 CONSISTANCE ET COMPLÉTUDE La principale caractéristique des mathématiques est d'être une science déductive, qui se fixe pour but de déduire par des démonstrations logiques et formelles de nouvelles propositions mathématiques appelées théorèmes, à partir d'axiomes ou de postulats (hypothèses de base qui sont proposées comme vraies). L'ensemble des axiomes et des théorèmes doit constituer un ensemble consistant, c'est-à-dire sans contradiction logique interne. Ainsi, il n'est pas possible de démontrer un théorème faux, ou qui soit en contradiction avec l'un des axiomes proposés ou avec un autre théorème. Avant les travaux de Gödel, et en particulier au XIXe siècle, la plupart des mathématiciens pensaient également que toute proposition vraie doit pouvoir être démontrée à l'intérieur d'un système mathématique : autrement dit, un système mathématique doit être complet et posséder tous les outils permettant de décider de la véracité de n'importe quelle proposition. Dans ce but, David Hilbert (maître de Gödel) tente en vain de démontrer entre 1900 et 1928 qu'il est possible de déduire à partir d'un système mathématique une infinité de propositions, toutes vraies. En 1931, Gödel démontre que ces recherches sont en fait irréalisables. 3 INCOMPLÉTUDE DE L'ARITHMÉTIQUE En prenant l'exemple simple de l'arithmétique, Gödel montre qu'une théorie mathématique consistante, s'appliquant aux nombres entiers, peut s'avérer incomplète. En effet, il parvient à construire un théorème présentant les propriétés suivantes : s'il est vrai, alors il est indémontrable ; s'il est faux, il devient démontrable. Or, si ce théorème était faux et démontrable, le système se révélerait alors inconsistant, ce qui est impossible car sinon on ne pourrait se fier à aucun des théorèmes créés par ce système mathématique. Par conséquent, il faut admettre que ce théorème est vrai et indémontrable : ce système consistant est donc incomplet, et ne peut démontrer toutes les propositions vraies. 4 RÉPERCUSSIONS SUR L'ÉPISTÉMOLOGIE Au-delà d'un problème mathématique, les théorèmes d'incomplétude de Gödel posent un problème scientifique beaucoup plus général. En effet, ils montrent qu'une théorie scientifique ne peut expliquer l'ensemble des phénomènes observés, et que deux théories radicalement opposées peuvent coexister et s'appliquer aux mêmes phénomènes naturels. La coexistence de la physique relativiste et de la mécanique quantique en constitue l'exemple le plus frappant. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.