groupes - mathématiques.

groupes - mathématiques. groupes (mathématiques), ensembles munis d'une loi de composition interne T vérifiant certaines propriétés. La théorie des groupes a fait l'objet de très nombreux travaux et est utilisée dans beaucoup de domaines scientifiques. Par exemple, en chimie, les groupes servent à décrire les symétries que présentent les molécules et les cristaux ; le groupe de Lorentz est fondamental pour la relativité restreinte. La théorie des groupes joue également un rôle capital dans la physique des particules : elle a conduit à découvrir de nouvelles particules élémentaires. La loi de composition interne du groupe G, notée T, associe à tout couple (x, y) de G un élément z de G. Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition interne T qui vérifie les propriétés (1), (2) et (3) suivantes : (1) Associativité : pour trois éléments quelconques x, y, z de l'ensemble, on a (x T y) T z = x T (y T z) ; (2) Élément neutre : il existe un élément de l'ensemble noté e, vérifiant la propriété suivante : pour tout élément x de l'ensemble, x T e = x = e T x. e est appelé l'élément neutre du groupe ; (3) Symétrique d'un élément : pour tout élément x de l'ensemble, il existe un élément y de l'ensemble, appelé symétrique de x, tel que x T y = e = y T x. Si, en plus de ces propriétés, x T y = y T x pour toute paire d'éléments du groupe, on dit que ce dernier est un groupe abélien. Ainsi, l'ensemble En revanche, l'ensemble des réels (voir Nombres) muni de l'opération d'addition est un groupe abélien. des réels muni de l'opération de soustraction n'est pas un groupe, car l'associativité n'est pas vérifiée : par exemple, (5 - 4) - 3 n'est pas égal à 5 - (4 - 3). L'ensemble comportant seulement les deux nombres 1 et - 1, et muni de l'opération de multiplication, est un groupe abélien. Dans ce cas, 1 est l'élément neutre, et le symétrique de - 1 est - 1 lui-même, car (- 1) × (- 1) = 1. En géométrie, les groupes sont souvent liés à la notion de symétrie. Considérons les six transformations qui déplacent les sommets d'un triangle équilatéral en laissant celui-ci globalement invariant (voir la figure 1). Ces transformations sont : l'identité e, qui laisse les trois sommets du triangle invariants ; les rotations r1, de 120°, et r2, de 240°, dans le sens des aiguilles d'une montre autour du centre de gravité du triangle ; les symétries s1, s2 et s3 par rapport aux droites D1, D2 et D3 respectivement. On définit une loi de composition T sur cet ensemble de transformations : on note x T y le résultat de la transformation obtenue en effectuant d'abord y puis x sur le résultat de y. Par exemple, r1 T s2 est la transformation qui donne le même résultat que la symétrie par rapport à la droite D2 (qui donne le triangle figure 2), suivie de la rotation de 120° (qui donne le triangle figure 3). Ce dernier triangle est également obtenu par la transformation s1 appliquée au triangle de départ. Par conséquent, r1 T s2 = s1. Cette égalité est indiquée dans la table de multiplication de la figure 4. Dans ce tableau, le résultat est à l'intersection correspondante. On peut démontrer que l'ensemble de ces six transformations muni de l'opération T forme un groupe dont e est l'élément neutre. Ce n'est pas un groupe abélien, car r1 T s2 ? s2 T r1, comme on peut le constater sur la figure 4. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.