La notion de fractale, ou d'objet fractal, est un néologisme de Benoît Mandelbrot, qu'il a formé à partir du latin \"fractus\": fracturé, fractionné.

Cela désigne une figure géométrique d'apparence irrégulière, mais qui comporte une particularité qui fait d'elle une curiosité mathématique. Chaque partie de sa structure est semblable ou même identique à son intégralité, et cela à n'importe quelle échelle. Ce qu'on appelle une homothétie interne. Cette propriété en implique d'autres, et ainsi sa limite est infinie et elle possède une dimension fractale qui n'est pas définie par des nombres entiers. On peut donc dire que chaque partie d'une fractale est aussi une fractale.

Notion de fractales en mathémathiques

Pour expliquer la notion de fractale en mathématique, il est important de procéder par étapes. Commençons donc par l'ensemble de Cantor qui est une approche simple permettant une rapide compréhension.

1) Ensemble de Cantor, premiers pas vers la notion de fractale en maths 

 Prenons un segment de longueur L.

 Nous allons alors appliquer quelques modifications à celui-ci: divisons-le par 3 et supprimons-lui sa partie centrale. Ainsi on obtient deux segments ayant pour longueur L'=L/3 . Cette étape sera appelée itération.

 Maintenant, et pour chaque segment obtenu, nous appliquons à nouveau une itération. On obtient alors 4 segments ayant tous pour longueur L''=L'/3=L/9. En répétant ce principe un grand nombre de fois on obtient alors de plus en plus de segments mais surtout des segments de plus en plus petits.

 Nous pouvons aisément démontrer, par de simples calculs, que quand la taille des segments tend à se rapprocher vers 0, le nombre de segments augmente et tend vers +∞.

 Commençons par démontrer que la taille des segments, après un grand nombre d'itérations, est de plus en plus petite et a tendance à se rapprocher de zéro: 

  Ln est une suite géométrique de raison 2/3 et de premier terme L0:

  L0 = x Avec x ∈ IR+   L1 = (2/3) X L0 ..→.. L2 = (2/3) X L1 = (2/3)² X L0 .... → .... .... .... .... → ....  Ln=(2/3)^n X L0 Avec n ∈ Z+

  Etant donné que 0<2/3<1

  Nous avons donc lim_n->+∞ (2/3)^n X L0 = 0    C.Q.F.D.

2) Le flocon de Koch, une fractale simple en 2D (dimension euclidienne)

Dans un triangle équilatéral qui a pour longueur de côté L, et pour périmètre P0 = 3 X L:

-on divise chaque côté en 3,

-on construit un triangle équilatéral ayant pour base le tiers du milieu de chaque côté, (en effaçant la base)

-on obtient ainsi une figure ayant pour périmètre P1=(4/3) X P0 =4 X L

On appliquera cette itération à chaque étape vers la construction de la fractale du flocon de Koch, avec un périmètre P qui tend vers l'infini plus on applique d'itérations à la figure.

De manière générale, si on applique l'itération un nombre n fois, n ∈ Z

Soit Pn = (4/3)^n X 3L

lim_n->+∞ (4/3)^n X 3L= + infini

3) L'éponge de Menger, une fractale au volume nul

 On prend un cube de volume V0 , on divise ce cube en 27 autres cubes de volume 1/27 de V0 . On retire alors le cube central de la figure ainsi que les cubes centraux de chacune des faces extérieures. On répète cette itération n fois (n ∈ IR) en prenant pour cubes précurseurs les cubes restants de volume 1/27 de V0. 

 D'où Vn = (20/27)^n X V0

lim_n->+∞ (20/27)^n = 0

Le volume de la figure tend vers un volume nul lorsqu'on applique l'itération un grand nombre de fois.

cf:http://tpe-fractal-83.e-monsite.com/rubrique,ii-fractales-en-maths,1239012.html