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Les mathématiques sont elle déductives ?

Publié le 11/11/2011

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                                       Epistemologie: les mathematiques sont elles deductives?

 

 

 

          Poser la question les mathematiques sont-elles deductives mene a quelques precisions.

Parler des mathematiques au pluriel, laisse penser que la question vise les sciences mathematiques, soit, l'ensemble des sciences ayant pour objet le nombre, la qualite, l'etendue et l'ordre.

Donc on se demande si les sciences mathematiques sont deductives oui ou non, car la formulation de la question laisse croire qu'il est difficile d'en avoir la certitude.  En effet, dire des mathematiques qu'elles sont deductives suppose la mediation d'un raisonnement, mais aussi, le fait que proccede par deduction mene a l'unviersalité. Or, il est convenu que les verites mathematiques sont en proies a l'universalité, alors de prime abord les mathematiques seraient deductives.

 Ainsi, les mathematiques ont toujours joui aux yeux des philosophes d'un prestige particulier. C'est que, de toutes les disciplines, les mathematiques sont celles qui, sont entrées, selon la formule de kant \"dans la voie sure de la science\". Descartes revait d'une mathematique universelle c'est a dire d'une science universelle qui presenterait les memes caracteres de precision, de rigueur et de certitudes que les mathematiques.

On peut se demander a quoi les mathematiques doivent ces caracteres privilegies. Et, puisque l'intuition et le raisonnement sont les instruments fondamentaux de la connaissance, il nous faut donc mettre en avant le paradoxe de ces deux mode de connaissance et le role de l'une et de l'autre dans la demonstration mathematique.  Comment peut on dire que les mathematiques sont deductives alors meme que l'intuition joue un role dans les mathematiques? soit, comment les mathematiques peuvent elles etre deductives alors meme que les axiomes d'un systeme deductif ne sont pas evidentes, mais de pures hypotheses de depart donc tirees de l'experience voire de l'intuition?

  Tout demonstration en mathematique suppose qu'on decouvre des rapports entre ce que l'on sait  et ce que l'on veut savoir et ce serait en cela que consiste cette qualité appele intuition sensible (I) Ainsi, la valeur des mathematiques s'expliquerait essentiellement par les caracteres intuitif et a priori de leur objet d'une part et par les caracteres deductifs et constructifs de leur demonstration (II)

 

      Le mot intuition designe toujours, par opposition au mot discours, une connaissance immediate. Mais il peut etre pris en different sens, tantot on songe à l'intuition sensible, pure ou empirique et tantot à l'intuition intellectuelle. On appellle intuition sensible la representation d'un objet donné aux sens mais dans cette representation, kant distingue la matiere et la forme. La matière, ou intuition empirique  ce sont les couleurs, odeurs, saveurs qui constituent les qualites sensibles de l'objet. La forme ou intuition pure se sont les cadres à l'interieur desquels ces couleurs, odeurs ou saveurs sont données. La matière est a posteriori, la forme a priori, c'est-a-direuniverselle et necessaire, s'imposant a tout esprit parce qu'elle est donnée par l'esprit meme. L'espace est ainsi la forme a priori du sens externe, le temps la forme a priori du sens interne. Par intuititon intellectuelle, on entend generalement l'acte par lequel l'intelligence saisit immediatement une verite; pour le realisme des idées selon Platon ou Descartes, c'est une operation passive par laquelle l'esprit prend conscience d'une realite donnée; pour l'idealisme l'idée n'est qu'un rapport et on peut alors appeler intuition intellectuelle l'invention de ce rapport. Le probleme est de savoir dans quelle mesure ces differentes formes d'intuition interviennent dans la demonstration mathematique.

      Il est difficile d'admettre, avec les empiristes, que l'objet des mathematiques soit donné par un intuition empirique. Sans doute le mathematicien trace-t-il au tableau une figure, mais ce n'est point sur cette figure qu'il raisonne en realite. Les caracteres empiriques de  cette figure, en effet, n'interviennent point dans son raisonnement: la couleur du triangle ou sa grandeur importent peu,  l'objet veritable de sa demonstration est le concept de triangle defini comme la figure constituée par trois droites qui se coupent dans un plan. L'intuition empirique n'intervient qu'a titre de secours pour l'entendement, la figure tracee au tableau n'est la que pour  \"fixer les idees\" comme disent les geometres. Pour reprendre les termes de Descartes, c'est l'entendement et l'imagination qui intervient dans la demonstration mathematique et l'on peut considerer avec Kant que c'est l'intuition pure de l'espace qui fournit au geometre la matiere dans laquelle il construit ses concepts. Cette matiere etant donnée a priori , les concetps mathematiques seront eux-memes a priori.

     Il est difficle d'accorder a Descartes que les objets mathematiques soient des idees qui ont \"leurs vraies et immuables natures\" et que nous connaitrions par une \"inspection de l'esprit\" ou \"intuitus mentis\". Cependant l'intuition intellectuelle, entendue en un sens idealsite, comme vision ou invention d'un rapport, intervient bien dans la demonstration mathematique. Si j'ai par exemple à demontrer le theoreme concernant la somme des angles d'un polygones convexe de n cotés, il faut que j'apercoive un rapport entre ce theoreme à demontrer et les theoremes deja connus, et plus precisement celui qui concerne la somme des angles d'un triangle. Je vois qu'on peut diviser les polygones en autant de triangles qu'il a de cotes moins deux et j'en conclus que la somme des angles du polygone est egale a autant de fois deux angles droits que ce polygone a de cotes moins deux: SPn=S(n-2)T. Or, ST=2D, donc SPn=(n-2)2D. Toute demonstration mathematique suppose ainsi qu'on decouvre des rapports entre ce que l'on sait et ce que l'on veut savoir;  et c'est en cela que consiste cette qualite que l'on appelle intuition mathematique, et qui permet de resoudre plus ou moins vite un probleme donné. Ainsi, la valeur des mathematiques s'expliquerait essentiellement par les caracteres intuitif et a priori de leur objet d'une part et par les caracteres deductifs et constructifs de leur demonstration(II)

 

     On a longtemps defini l'induction et la deduction comme deux especes du raisonnement dont l'une, l'induction, irait du particulier au general et l'autre, la deduction, du general au particulier. Ainsi definie, l'induction serait un raisonnement fecond, permettant de decouvrir des verites nouvelles, mains non rigoureux car la generalisation est toujours une operation douteuse comme l'estime Kant \"l'universalite empirique n'est qu'une extension arbitraire de valeur\". La deduction de son coté, serait parfaitement rigoureuse, mais aussi strerile puisqu'elle ne permettrait pas de decouvrir des verites nouvelles; elle est meme tautologique puisque la verite de la conclusion particuliere est deja supposee quand on enonce les premisses generales. Or, le propre du raisonnement mathematique est d'etre a la fois rigoureux et fecond: il permet a nos connaissances de progresser en toute certitutde. Aussi, ne peut-on en rendre compte que par certaines conceptions particulieres de l'induction ou de la deduction.

     C'est ainsi que Poincare a propose de definir le raisonnement mathematique comme un mode special de l'induction qu'il appelle induction complete. Le type de cette induction serait le raisonnement par recurrence; ayant demontre successivement qu'un theoreme est vrai pour n=1 puisque, s'il est vrai de n-1, il est vrai de n, on en conclut qu'il est vrai pour toute la suite des nombres entiers. On sait, en effet, qu'il est vrai pour n=2 puisque s'il est vrai de 2-1, il est vrai de 2 et que nous savons qu'il est vrai de 2-1 c'est-a-dire de 1. Par le meme raisonnement, nous pouvons montrer qu'il est vrai de 3 puis de 4. Comme c'est toujours une meme operation qu'accomplit l'esprit, nous savons sans avoir besoin de l'accomplir chaque fois, qu'elle est valable pour tous les nombres. En effet, l'esprit \"se sait capable de concevoir la repetition indefinie d'un meme acte des que cet acte est une fois possible\". Ainsi, partant d'une verite etablie par un cas particulier, nous etablissons une verite valable pour tous les cas et notre raisonnement serait a la fois rigoureux et fecond. Toutefois, comme Goblot l'a bien montre, ce mode de raisonnement qui n'est d'ailleurs applicable qu'en arithmetique, est en realite une suite de deduction.

       Neanmois, la deduction selon Goblot ne se definit pas necessairement par le passage du general au particulier, cela n'est vrai que d'une forme de deduction que l'on peut appeler deduction formelle et qui intervient quelquefois en mathematiques pour appliquer un theoreme connu a un cas particulier. Par exemple, quand je demontre le theoreme sur la somme des angles d'un triangle, j'applique à ma construction les theoremes connus sur l'egalite des angles correspondants et des angles alternes-internes. Le vrai raisonnement mathematique est une deduction constructive dans laquelle on construit les consequences avec les principes. Par exemple quand on demontre le theoreme concernant la somme  des angles d'un polygone convexe de n cotes, on procede par un enchainement logique de propositions qui est bien deductif. Le passage des premisses a la conclusion se fait selon la loi de toute deduction c'est-a-dire en allant des principes aux consequences, ainsi s'explique la rigueur  du raisonnement et c'est par la construction des triangles à l' interieur du polygone que s'explique sa fecondite.

 

   En conclusion, la valeur des mathematiques s'explique essentiellement par les caracteres intuitifs et a priori de leur objet d'une part et d'autre part, par les caracteres deductif et contructif de leur demonstration. C'est parce que leur objet et leur methode ont un caractere strictement rationnel que les mathematiques presentent un si haut degres de certitude. On comprend alors que toute science tende aux mathematiques comme a un ideal.

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