limite - mathématiques.

limite - mathématiques. 1 PRÉSENTATION limite (mathématiques), en mathématiques, concept lié à l'étude locale d'une fonction ou au comportement d'une suite infinie. On dit qu'une fonction f a pour limite le nombre l en un point x0 si l'on peut toujours déterminer une valeur x voisine de x0 pour laquelle f est définie et telle que la différence entre l et f(x) soit arbitrairement petite. De même, on dit qu'une suite infinie (un) a pour limite l ou converge vers l si l'on peut toujours trouver un rang n de la suite à partir duquel la différence entre l et un soit arbitrairement petit. Intuitivement, l'existence d'une limite l pour une fonction ou une suite correspond au fait que, plus x est proche de x0 ou plus n est grand, plus f(x) ou un se rapproche de l. 2 CAS D'UNE FONCTION Mathématiquement, la définition de la limite l d'une fonction f en x0 peut s'exprimer de la manière suivante : une fonction f a pour limite le nombre l en un point x0 si, pour tout réel e, il existe un réel positif M tel que si x-x0 <= M alors f(x)-l <= e. On note alors : On peut remarquer que, si le réel l appartient à l'ensemble de définition de f, alors l = f(x0). Par extension, on parle également de limite l d'une fonction en + ? et en - ? (le symbole ? désignant l'infini). Par exemple, on dit qu'une fonction f a pour limite l en - ? si, pour tout réel positif e, il existe un réel M tel que si x <= M alors f(x)-l <= e. Intuitivement, f(x) tend ainsi à se rapprocher de l pour de grandes valeurs négatives de x. De manière analogue, on introduit la limite infinie d'une fonction en un point. Par exemple, une fonction f a pour limite + ? en un point x0 si, pour tout réel N, il existe un réel positif M tel que si x-x0 <= M alors f(x) >= N. On note alors : On définit de manière analogue la limite infinie d'une fonction en + ? et en - ?. 3 CAS D'UNE SUITE De la même manière que pour une fonction, on peut traduire mathématiquement la définition de la limite d'une suite. On dit qu'une suite (un) converge vers un réel l si, pour tout réel positif e, il existe un entier p tel que pour tout n >= p,un-l <= e. 4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES Soient deux fonctions f et g ayant pour limites respectives l et l' en un point x0, l et l' pouvant être des réels ou correspondre à + ? ou - ?. 4.1 Limite d'une somme On démontre que la fonction f + g a pour limite en x0 : o l + l' si l et l' sont réels ; o + ? si l'une des limites l ou l' vaut + ?, l'autre étant différente de - ? ; o - ? si l'une des limites l ou l' vaut - ?, l'autre étant différente de + ?. Dans le cas où l'une des limites vaut + ? et l'autre - ?, il est impossible d'aboutir à une conclusion générale : on a affaire à une forme indéterminée et il faut alors procéder à une étude cas par cas. 4.2 Limite d'un produit On démontre que la fonction f.g a pour limite en x0 : o le produit l.l' si l et l' sont réels ; o + ? si l'une des limites est strictement positive, l'autre valant + ?, ou si l'une des limites est strictement négative, l'autre valant - ? ; o - ? si l'une des limites est strictement positive, l'autre valant - ?, ou si l'une des limites est strictement négative, l'autre valant + ? ; o + ? si l et l' valent + ? ou - ? ; o - ? si l'une des limites vaut + ?, l'autre étant égale à - ?. Dans le cas où l'une des limites est nulle, l'autre valant + ? ou - ?, il est impossible de conclure dans le cas général : il s'agit d'une autre forme indéterminée. 4.3 Limite d'un quotient On démontre que la fonction f / g a pour limite en x0 : o le quotient l / l' si l et l' sont réels, l' étant non nul ; o + ? si l vaut + ? et l' > 0, ou si l vaut - ? et l' < 0 ; o - ? si l vaut + ? et l' < 0, ou si l vaut - ? et l' > 0 ; o 0 si l est un réel non nul, l' valant + ? ou - ?. Dans le cas où les deux limites sont nulles, ou toutes deux infinies, on ne peut conclure, chaque cas étant particulier. Tous ces résultats (somme, produit, quotient) demeurent valables si l'on remplace x0 par + ? ou - ?. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.