logarithme - mathématiques.

logarithme - mathématiques. 1 PRÉSENTATION logarithme, exposant auquel un certain nombre, appelé base, doit être élevé pour obtenir un nombre donné. Par exemple, dans l'expression 83 = 512, le logarithme de 512 en base 8 est égal à 3. Cela s'écrit log8 512 = 3. Les premières tables de logarithmes ont été publiées en 1614 par le mathématicien écossais John Napier. Quatre ans plus tard, le mathématicien anglais Henry Briggs imagine la première table de logarithmes usuels en base 10. D'abord inventés pour simplifier les procédés arithmétiques de multiplication, de division, d'élévation à une puissance et d'extraction de racines, les logarithmes sont maintenant largement utilisés en analyse et en mathématiques appliquées. Les logarithmes ont été créés dans le but de développer une série de nombres proportionnels à l'accroissement d'une variable. Par exemple, la fonction y = 2 x est telle que si x croit de façon linéaire, y augmente beaucoup plus rapidement (20 = 1 ; 21 = 2 ; 22 = 4 ; 23 = 8 ; 24 = 16 ; etc.). L'utilisation du logarithme permet alors de définir une relation linéaire entre x et le logarithme de y. Ainsi, x = log2 y est une fonction linéaire. 2 DÉFINITIONS Il existe une infinité de types de logarithmes puisque chaque base définit un logarithme. Ainsi, dans la suite formée par les puissances suivantes du nombre 2 : 2 1, 22, 23, 24, 25 et 26, les exposants 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sont les logarithmes respectifs des nombres 2, 4, 8, 16, 32 et 64 en base 2. Le logarithme le plus ancien, le logarithme népérien, correspond au logarithme de base e, où e est la valeur de la fonction exponentielle ex pour x = 1. Il est noté Log x ou plus fréquemment ln x. Cette fonction logarithme particulière est une primitive de la fonction y = 1/x (voir Infinitésimal, calcul). Le logarithme décimal, noté log10 ou plus simplement log, est le logarithme de base 10. Pour passer d'un logarithme en base a à un logarithme en base b, on peut utiliser les formules de conversion suivantes : loga x = ln x / ln a et logb x = (ln a / ln b) loga x. Tous les logarithmes ne sont définis que pour des valeurs strictement positives. Par ailleurs, pour un logarithme quelconque en base a, on peut remarquer que loga a = 1 et loga 1 = 0. En outre, ln x > 0 pour x > 1 et ln x < 0 pour x < 1. 3 OPÉRATIONS La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, ce qui signifie que si y = ln x, alors x = ey. Les opérations sur les logarithmes peuvent donc se déduire aisément des opérations sur les puissances et les exponentielles. Par conséquent, si x et y sont deux nombres strictement positifs et p un entier, on a : ln xy = ln x + ln y ln (x / y) = ln x - ln y ln xp = p ln x 4 APPLICATIONS Dans la nature, de nombreux phénomènes présentent une croissance ou une décroissance exponentielle, et peuvent donc être modélisés à l'aide de logarithmes. Par exemple, en biochimie, la décroissance de la concentration d'une molécule dans le sang est due au métabolisme ; cette substance est dégradée selon une réaction du premier ordre. Ainsi, le pourcentage de molécules détruites demeure identique, quelle que soit la concentration de cette substance dans le sang. Cette décroissance est exponentielle et il est possible de linéariser cette disparition à l'aide de logarithmes selon la formule : ln Ct = ln C0 - kt où Ct représente la concentration de la substance à un temps t, C0 la concentration au début de l'expérience, et k une constante caractéristique du métabolisme de cette substance. De même, en chimie, on utilise le logarithme décimal pour définir le pH d'une solution, qui est une mesure de son acidité, c'est-à-dire de la concentration en ions H + notée [H+]. Plus la solution est acide, plus la concentration en ions H+ est élevée. Le pH, qui peut varier de 1 à 14, détermine cette concentration selon la formule pH = - log10 [H+]. Ainsi, un pH de 7 correspond à [H+] = 10-7. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.