mathématiques - mathématiques. 1 PRÉSENTATION mathématiques, science ayant pour objet l'étude au moyen du raisonnement et de la déduction d'êtres ou d'entités abstraites (nombres, figures, etc.). Nées des besoins pratiques de l'homme (dénombrement, mesures), les mathématiques ont pris leur autonomie surtout avec le développement d'un mode de démonstration rigoureuse de propriétés à partir de prémisses posées pour vraies (méthode axiomatique). Tout en gardant un lien avec le réel -- nombre de concepts ou de problèmes mathématiques sont nés de la physique --, elles ont aussi créé leurs propres objets, concepts et théories. Ceux-ci à leur tour sont devenus souvent des outils très puissants pour l'étude des phénomènes physiques ou pour la modélisation des réalités humaines et sociales. À partir du XIXe siècle, un double mouvement s'est fait jour : vers l'étude des relations et des structures, d'une part, et, d'autre part -- liée à certaines difficultés rencontrées --, vers la refondation complète de la discipline au moyen de la logique mathématique formelle. Plus récemment, les mathématiques, qui ont très largement contribué à l'élaboration conceptuelle de l'ordinateur, ont trouvé dans cette machine et dans sa puissance de calcul un outil précieux pour tester et modéliser des hypothèses ou même « démontrer « des conjectures. Le bref survol de l'histoire des mathématiques qui suit retrace l'évolution des idées et des concepts mathématiques à partir de la préhistoire. En effet, les mathématiques ont pratiquement le même âge que l'humanité elle-même : des preuves du sens géométrique et de l'intérêt pour des formes et des motifs géométriques ont été découvertes sur les poteries préhistoriques et sur les peintures des cavernes. Les systèmes de calcul sont, à cette époque, très probablement fondés sur l'utilisation des doigts de l'une ou des deux mains, comme en témoigne la prédominance des bases 5 et 10 dans la plupart des systèmes de numération actuels (voir chiffres). 2 MATHÉMATIQUES DE L'ANTIQUITÉ Les premiers documents décrivant des mathématiques évoluées et organisées remontent à l'époque de l'ancienne Babylone, en Mésopotamie, et à l'Égypte du III e millénaire av. J.-C. Les mathématiques sont alors régies par l'arithmétique, à laquelle s'ajoute un intérêt particulier pour la mesure et le calcul en géométrie. Les concepts d'axiome ou de démonstration n'existent pas encore. 2.1 Mathématiques égyptiennes Les premiers textes égyptiens, datant de 1800 av. J.-C., révèlent un système de numération décimale, avec des symboles séparant les puissances successives de 10 (1, 10, 100 et ainsi de suite), exactement comme dans le système romain. Pour représenter les nombres, on écrit le symbole désignant 1 autant de fois que le nombre a d'unités, et le symbole mis pour 10 autant de fois que le nombre a de dizaines, etc. Par exemple, le nombre 30 est représenté par 101010. L'addition est effectuée en sommant séparément les unités, les dizaines, les centaines, etc. La multiplication correspond à des doublements successifs du nombre et la division est l'inverse de ce processus. Pour exprimer toutes les fractions, les Égyptiens utilisent des sommes de fractions du type (? plus quelques fractions comme ? ou ? . Par exemple, la fraction ? est la somme des fractions ?et ~ . En utilisant ce système, les Égyptiens peuvent résoudre ), tous les problèmes d'arithmétique sur les fractions, de même que certains problèmes élémentaires d'algèbre. En géométrie, ils parviennent à établir des règles correctes pour déterminer les aires des triangles, des rectangles, des trapèzes et les volumes de solides, tels que les briques, les cylindres et, bien sûr, les pyramides. 2.2 Mathématiques babyloniennes Le système de numération babylonien est totalement différent du système égyptien. Dans le système babylonien, on utilise des tablettes d'argile constituées de différents repères cunéiformes : un seul signe cunéiforme indique 1 et un signe sous forme de flèche indique 10. Les nombres inférieurs ou égaux à 59 sont formés à partir de ces symboles par un procédé d'addition, comme dans les mathématiques égyptiennes. En revanche, pour représenter le nombre 60, on écrit le symbole mis pour 1, suivi d'un symbole de position. Ainsi, les valeurs réelles des 59 premiers nombres dépendent de leur position dans le nombre total. Par exemple, un nombre constitué du symbole représentant 2, suivi du symbole désignant 27 et se terminant par le symbole désignant 10, correspond au nombre 2 × 602 + 27 × 60 + 10 = 8 830. Ce principe est également étendu à la représentation des fractions : la séquence des nombres ci-dessus peut tout aussi bien représenter le nombre 2 × 60 + 27 + 10 × (? ou 2 + 27 × (? + 10 × (? 2. Avec ce système sexagésimal (de base 60), les Babyloniens possèdent un système numérique aussi pratique que le système décimal (de base 10). ), ) ) À cette époque, les Babyloniens développent une mathématique complexe qui leur permet de déterminer les racines positives de toute équation du second degré. Ils savent même déterminer les racines de certaines équations du troisième degré. Ils possèdent différentes variétés de tables, comme les tables de multiplication et de division ou les tables des carrés. Ils savent résoudre des problèmes complexes en utilisant le théorème de Pythagore. Une de leurs tables contient les solutions entières de l'équation de Pythagore a2 + b2 = c2, arrangée de telle sorte que c2 / a2 diminue progressivement de 2 à environ ? . En outre, les Babyloniens sont capables de calculer la somme de séries arithmétiques et de certaines séries géométriques. Ils parviennent également à une bonne approximation de à . 2.3 Mathématiques grecques Les Grecs adoptent les acquis mathématiques des Babyloniens et des Égyptiens. Un nouvel élément apparaît cependant dans leurs mathématiques : une approche abstraite, fondée sur une structure logique de définitions, d'axiomes et de démonstrations. D'après les documents laissés ultérieurement par les Grecs, cette mathématique commence à se développer au VIe siècle av. J.-C., avec Thalès de Milet et Pythagore de Samos, chef religieux qui met l'accent sur l'étude des nombres pour comprendre le monde. Certains de ses disciples font des découvertes importantes en théorie des nombres et en géométrie, découvertes qui seront attribuées à Pythagore lui-même. Le Ve siècle av. J.-C. compte deux grands géomètres : le philosophe atomiste Démocrite d'Abdère, qui découvre la formule du volume d'une pyramide, et Hippocrate de Chio, qui montre que les aires des figures en forme de croissant et limitées par des arcs de cercle sont égales aux aires de certains triangles. Cette découverte est liée au célèbre problème de la quadrature d'un cercle, c'est-à-dire la construction (à la règle et au compas) d'un carré de même aire que celle d'un cercle donné. Deux autres problèmes mathématiques célèbres apparaissent au cours de ce siècle : diviser un angle en trois angles égaux et construire un cube dont le volume est le double d'un cube donné. Ces trois problèmes seront résolus à l'aide d'instruments beaucoup plus complexes qu'une règle et un compas. Ce n'est qu'au XIXe siècle que l'on démontrera qu'il est impossible de les résoudre au moyen de ces deux instruments. Dans la seconde moitié du Ve siècle av. J.-C., une découverte dérangeante est faite : aucune unité de longueur ne permet de mesurer en même temps le côté et la diagonale d'un carré. En d'autres termes, ces deux longueurs sont incommensurables : la relation numérique existant entre le côté et la diagonale ne peut s'exprimer par le rapport de deux nombres entiers m et n. Les Grecs considérant que seuls les éléments de dénombrement (1, 2, 3, etc.) sont des nombres, ils n'ont donc pas de moyen numérique pour exprimer le rapport de la diagonale sur le côté. (Ce rapport, à , sera appelé nombre irrationnel.) Ainsi est mise en doute la théorie de Pythagore sur les rapports des nombres. Une nouvelle théorie apparaît au IVe siècle av. J.C., introduite par Eudoxe de Cnide. On en trouve la présentation dans les Éléments d'Euclide. Les treize livres qui constituent les Éléments contiennent une grande part des connaissances mathématiques élémentaires, découvertes avant la fin du IVe siècle av. J.-C., et concernent la géométrie des polygones, le cercle, la théorie des nombres, la théorie des incommensurables, la géométrie des solides et la théorie élémentaire sur les aires et les volumes. Le IVe siècle av. J.-C. est marqué par un brillant développement des mathématiques, comme en témoignent, par exemple, les travaux d'Archimède de Syracuse et d'Apollonios de Perga. Archimède utilise, par exemple, une méthode fondée sur la pesée théorique de parties de figures infiniment petites et permettant de déterminer les aires et les volumes des figures issues de sections coniques. Ces sections coniques, découvertes par Menaechmus, élève d'Eudoxe, ont fait l'objet d'un traité d'Euclide. Cependant, les écrits d'Archimède sur ces sections coniques sont les premiers connus. Archimède étudie également les centres de gravité et la stabilité de différents solides flottant sur l'eau. Une grande partie de ses travaux conduira à la découverte du calcul infinitésimal au XVIIe siècle. Son contemporain Apollonios écrit un traité de huit livres sur les sections coniques. Ce traité introduit les noms de trois types de courbe : ellipse, parabole et hyperbole, et en donne une présentation géométrique qui restera en usage jusqu'au XVIIe siècle. Après Euclide, Archimède et Apollonios, la Grèce ne connaîtra pas de géomètre de stature comparable. Les écrits de Héron d'Alexandrie, au Ier siècle av. J.-C., témoignent du fait que les éléments babyloniens et égyptiens concernant les mesures et l'arithmétique survivent à côté des théories des grands géomètres. Dans la même tradition, mais pour des problèmes beaucoup plus complexes, on peut citer les livres de Diophante d'Alexandrie, du IIIe siècle apr. J.-C. Ils permettent de déterminer des solutions rationnelles d'équations à plusieurs inconnues. De telles équations, appelées équations diophantiennes, sont le sujet de l'analyse diophantienne. Parallèlement à ces travaux proprement mathématiques, de nombreuses études sont faites en optique, en mécanique et en astronomie. Des auteurs, tels qu'Euclide ou Archimède, écrivent des ouvrages dans certains domaines d'astronomie. Peu après Apollonios, les astronomes grecs adoptent le système babylonien de notation des fractions et établissent des tables pour les mesures des cordes d'un cercle. Pour un cercle de rayon donné, ces tables donnent la longueur des cordes sous-tendant une séquence d'arcs dont les mesures augmentent suivant un pas fixe. Ces tables sont équivalentes à la table des modernes sinus et leur invention marque les débuts de la trigonométrie. Dans les premières tables (celles d'Hipparque, vers 150 av. J.-C), la mesure des arcs est donnée par 7,5°, de 0° à 180°. À l'époque de Ptolémée, au IIe siècle apr. J.-C., la maîtrise grecque des procédures numériques a tellement progressé que ce dernier peut introduire dans son Almageste une table donnant les cordes d'un cercle par pas de 0,5°. Ce pas, exprimé en système sexagésimal, correspond, en fait, à une précision d'environ 10-5. Dans le même temps, des méthodes sont développées pour résoudre des problèmes impliquant des triangles plans, et un théorème -- portant le nom de l'astronome Ménélaüs d'Alexandrie -- permet de déterminer les longueurs de certains arcs sur une sphère, connaissant la mesure d'autres arcs. Ces progrès permettent aux astronomes grecs de résoudre les problèmes de l'astronomie sphérique et de développer un système qui servira jusqu'à l'époque de Johannes Kepler. 3 MATHÉMATIQUES DU MOYEN ÂGE ET DE LA RENAISSANCE Après Ptolémée apparaît une tradition consistant à étudier les connaissances mathématiques des siècles antérieurs et qui aura pour heureux corrélat la préservation des ouvrages anciens. Cependant, les premiers développements fondés sur ces connaissances n'apparaîtront que dans le monde arabo-islamique. 3.1 Mathématiques indiennes et arabes L'islam, né dans la péninsule Arabique, connaît pendant un siècle une expansion rapide et règne sur un territoire s'étendant de l'Espagne aux frontières de la Chine. Cela amène les musulmans à prendre connaissance des « sciences étrangères «. Dans des centres tels que la Maison de la Sagesse, à Bagdad, des traducteurs, soutenus par les califes et par de riches mécènes, donnent les versions arabes des ouvrages mathématiques grecs et indiens. Vers l'an 900, ce travail s'achève. Les savants musulmans utilisent ces acquis auxquels ils apportent de nouvelles contributions. Ainsi, les mathématiciens élargissent le système de numération positionnel indien, en introduisant les fractions décimales. Au XIIe siècle, Omar Khayam, généralisant les méthodes indiennes d'extraction des racines carrées et cubiques, introduit les racines quatrièmes, cinquièmes et d'ordres supérieurs. Al-Karadji complète l'algèbre de Muhammad al-Khuwarizmi sur les polynômes, en introduisant des polynômes avec un nombre infini de termes -- le nom d'al-Khuwarizmi a donné le mot algorithme, et le titre de l'un de ses livres est à l'origine du terme algèbre. Des géomètres, tels que Ibrahim ibn Sinan, poursuivent les études d'Archimède sur les aires et les volumes. Kamal al-Din, entre autres, applique la théorie des sections coniques pour résoudre des problèmes d'optique. De Habas al-Hasib à Nasir al-Din al-Tusi, les mathématiciens créent la trigonométrie plane et la trigonométrie sphérique, en utilisant la fonction sinus indienne et le théorème de Ménélaüs. Ces nouvelles disciplines ne prendront place dans la mathématique occidentale qu'avec la publication de De Triangulis Omnimodibus, par l'astronome allemand Regiomontanus. Enfin, plusieurs mathématiciens musulmans font d'importantes découvertes en théorie des nombres, tandis que d'autres exposent différentes méthodes numériques pour résoudre les équations. Le monde occidental latin fera sien une grande partie de ce savoir au cours du XIIe siècle, le grand siècle de la traduction. Avec les traductions des classiques grecs, tous ces travaux musulmans seront à l'origine du développement des mathématiques occidentales au cours du Moyen Âge. 3.2 Mathématiques en Europe Les connaissances des mathématiciens italiens, tels que Leonardo Fibonacci et Luca Pacioli, dépendent beaucoup des travaux arabes. Luca Pacioli, l'un des nombreux auteurs du XVe siècle, publie des traités d'algèbre et d'arithmétique pour les marchands. À la fin de l'époque médiévale, des auteurs tel que Nicole Oresme introduisent des considérations mathématiques sur l'infini. Ce n'est cependant qu'au début du XVIe siècle qu'une découverte mathématique vraiment importante est faite en Occident. Il s'agit d'une formule algébrique donnant la solution des équations du troisième et du quatrième degré qui est publiée en 1545 par Jérôme Cardan, dans son Ars Magna. Cette découverte attire l'attention des mathématiciens sur les nombres complexes et stimule la recherche des solutions des équations de degré supérieur à quatre. À son tour, celle-ci conduira aux premiers travaux sur la théorie des groupes, à la fin du XVIIIe siècle, et à la théorie des équations d'Évariste Galois, au début du XIXe siècle. Le XVIe siècle voit apparaître les premiers symboles mathématiques et algébriques. Parallèlement, François Viète mène une remarquable étude sur la résolution des équations. Ses ouvrages influenceront de nombreux mathématiciens du siècle suivant, dont Fermat en France et Newton en Angleterre. 4 MATHÉMATIQUES À PARTIR DU XVIIE SIÈCLE 4.1 Au XVIIe siècle Au XVIIe siècle, les mathématiques connaissent les développements les plus importants depuis l'époque d'Archimède et d'Apollonios. Le début du siècle est marqué par la découverte des logarithmes par John Napier. La théorie des nombres, restée sans grand changement depuis l'époque médiévale, illustre le mieux ce que les progrès du XVIIe siècle doivent aux savoirs anciens. C'est, par exemple, l'Arithmétique de Diophante qui permet à Pierre de Fermat de faire des progrès considérables dans la théorie des nombres. Sa conjecture la plus importante est la suivante : il n'existe pas de solutions entières positives a, b, c à l'équation an + bn = cn, si n est supérieur à 2. Cette conjecture, connue sous le nom de grand théorème de Fermat, suscitera des travaux importants en algèbre et en théorie des nombres : elle ne sera finalement et définitivement démontrée qu'en 1994 par Andrew Wiles. Le XVIIe siècle connaît deux importants développements en géométrie pure. Tout d'abord, Descartes publie, dans son Discours de la méthode (1637), les résultats de ses travaux relatifs à la nouvelle méthode qu'il a élaborée : la géométrie analytique. Celle-ci permet d'appliquer l'algèbre développée depuis la Renaissance à l'étude des courbes. (Fermat fait la même découverte, mais ne la publie pas.) Ce livre encourage, dans les années 1660, les travaux mathématiques d'Isaac Newton, dont il constitue les fondements. En 1639, Gérard Desargues publie ses travaux sur la géométrie projective. Cet ouvrage, très apprécié par Descartes et par Blaise Pascal, n'aura pas de suite immédiate à cause de sa terminologie excentrique et de l'intérêt provoqué par la publication de Descartes sur la géométrie analytique. Le développement de la géométrie projective ne reprendra qu'au début du XIXe siècle avec les travaux de Jean Victor Poncelet. Au XVIIe siècle, les mathématiques connaissent une autre étape capitale : l'avènement de la théorie des probabilités, qui apparaît dans la correspondance entre Pascal et Fermat. Elle concerne alors un problème de jeu appelé problème des partis. Ces travaux, non publiés, incitent Christiaan Huygens à éditer un court traité sur les probabilités dans les jeux de dés. Ce traité est republié par Jacques Bernoulli dans son Art de la conjecture. Bernoulli et Abraham de Moivre, dans sa Doctrine des hasards de 1718, appliquent tous deux les procédés de calcul précédemment découverts, et font faire de rapides progrès à la théorie des probabilités. Cette théorie aura d'importantes applications dans l'industrie florissante de l'assurance. Cependant, l'événement mathématique le plus marquant du XVIIe siècle est incontestablement la découverte du calcul différentiel et intégral (voir calcul infinitésimal). D'un côté, Newton, entre 1664 et 1666, en développe une version en s'appuyant sur les travaux des Anglais John Wallis et Isaac Barrow et sur ceux de Descartes, du père Francesco Bonaventura Cavalieri, de Johann Van Waveren Hudde et de Gilles Personne de Roberval. Environ huit ans après Newton, qui n'a pas encore publié sa découverte, Gottfried Wilhelm Leibniz élabore une autre version du calcul différentiel et intégral, et publie pour la première fois, en 1684 et 1686, ses notations encore utilisées aujourd'hui, comme par exemple dx. 4.2 Au XVIIIe siècle La fin du XVIIe siècle et une grande partie du XVIIIe siècle sont marquées par les travaux des disciples de Newton et de Leibniz, qui appliquent les idées des deux mathématiciens pour résoudre certains problèmes de physique, d'astronomie ou certaines questions techniques. Cela les conduit à créer de nouveaux domaines. Par exemple, Jean et Jacques Bernoulli inventent le calcul des variations et Gaspard Monge crée la géométrie différentielle. Toujours en France, Joseph Louis de Lagrange traite la mécanique sous un angle purement analytique dans son grand ouvrage, Mécanique analytique (1788), où il présente ses célèbres équations (équations de Lagrange) décrivant un système dynamique. Il étudie également les équations différentielles, la théorie des nombres et jette les bases de la théorie des groupes. Son contemporain Laplace écrit la Théorie analytique des probabilités (1812) et le classique Mécanique céleste (1799-1825), qui lui vaut le titre de « Newton français «. Le plus grand mathématicien du XVIIIe siècle est Leonhard Euler, qui apporte des contributions fondamentales au calcul infinitésimal et à toutes les autres branches des mathématiques, ainsi qu'aux mathématiques appliquées. Il écrit des manuels sur le calcul différentiel et intégral, la mécanique et l'algèbre, qui deviennent des ouvrages de référence. Euler et d'autres mathématiciens appliquent avec succès les nouvelles méthodes pour résoudre des problèmes mathématiques et physiques, mais ne parviennent pas à en développer une justification satisfaisante. En effet, les travaux de Newton sont fondés sur la cinématique et la notion de vitesse, l'explication de Leibniz est fondée sur les infinitésimaux, et le traitement de Lagrange, purement algébrique, sur la notion de séries infinies. Tous ces systèmes sont insatisfaisants et ne répondent pas aux critères logiques de la mathématique grecque. Ce problème ne sera résolu qu'au siècle suivant. 4.3 Au XIXe siècle En 1821, Augustin Louis Cauchy parvient à donner une approche logique et satisfaisante du calcul infinitésimal. Il fonde uniquement son raisonnement sur des quantités finies et sur l'idée de limite. Mais cette démarche pose un autre problème : la définition logique des « nombres réels «. C'est le mathématicien allemand Julius Richard Dedekind qui en donne une définition satisfaisante à partir des nombres rationnels. D'autres définitions équivalentes sont données par Georg Cantor et Karl T. W. Weierstrass. Une autre question importante est soulevée, en liaison avec le problème énoncé pour la première fois au XVIIIe siècle et concernant la description du mouvement d'une corde vibrante : celle de la définition d'une fonction. Euler, Lagrange et Joseph Fourier contribuent à lui donner une réponse. Mais c'est Peter Gustav Lejeune Dirichlet qui propose la définition, encore employée aujourd'hui : une fonction est une relation de correspondance entre les éléments d'un ensemble (domaine de définition de la fonction) et ceux d'un second ensemble (ensemble d'arrivée). Parallèlement à la constitution de fondements solides pour l'analyse mathématique, nom qu'on donne alors aux techniques du calcul infinitésimal, les mathématiciens du XIXe siècle font faire d'importants progrès à ce domaine. Au début du siècle, Carl Friedrich Gauss donne une explication satisfaisante des nombres complexes, qui constituent par la suite un nouveau domaine de l'analyse, développé par les travaux de Cauchy, de Weierstrass et de Riemann. L'analyse mathématique connaît un autre progrès important : l'étude des sommes infinies dont les termes sont des fonctions trigonométriques. Connues aujourd'hui sous le nom de séries de Fourier, ce sont de puissants outils en mathématiques pures et appliquées. De plus, l'étude des fonctions égales aux séries de Fourier conduit Cantor à l'étude des ensembles infinis et à une arithmétique des nombres infinis. La théorie de Cantor, considérée alors comme totalement abstraite et même qualifiée de « maladie dont les mathématiques seront bientôt guéries « constitue aujourd'hui l'un des fondements des mathématiques. Le XIXe siècle est aussi celui de la découverte d'un autre développement considéré comme abstrait et inutile : celui de la géométrie non-euclidienne, dans laquelle, à une droite donnée et passant par un point n'appartenant pas à cette droite, soit on ne peut tracer aucune parallèle, soit on peut en tracer plus d'une. Manifestement, Gauss est à l'origine de cette géométrie, mais, craignant une controverse, il ne publie pas ses résultats. Ceux-ci sont retrouvés indépendamment par Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski et par János Bolyai. Riemann étudie les géométries non-euclidiennes dans un cadre très général. Depuis les travaux d'Einstein au XXe siècle, ces géométries non-euclidiennes ont trouvé des applications en physique. Gauss est l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Ses écrits montrent que, déjà tout jeune, cet enfant prodige a fait d'importantes découvertes en théorie des nombres. Son livre Disquisitiones Arithmeticae (1801) marque le début de l'ère moderne en théorie des nombres. À dix-neuf ans seulement, Gauss démontre qu'un polygone régulier ayant un nombre m de côtés peut être construit avec une règle et un compas lorsque m est un produit de nombres premiers de la forme 22n + 1. Dans sa thèse de doctorat, il donne la première démonstration satisfaisante du théorème fondamental de l'algèbre. Il combine souvent des travaux en sciences physiques et ses études mathématiques. On peut citer, par exemple, son développement de méthodes statistiques mené parallèlement à ses études sur l'orbite d'un astéroïde, ses travaux innovants dans le domaine de la théorie du potentiel effectués parallèlement à son étude du magnétisme, et son étude de la géométrie des surfaces courbes associée à des travaux de géodésie. Au XIXe siècle, on assiste à une mutation de l'algèbre : l'étude des polynômes conduit à celle des structures algébriques. Cette évolution est finalement plus importante pour l'algèbre que la démonstration du théorème fondamental par Gauss. L'invention de l'algèbre symbolique par George Peacok en Angleterre est une étape décisive dans cette voie. Une autre étape importante est la découverte de systèmes algébriques présentant certaines des propriétés des nombres réels, mais pas toutes. Ce sont, par exemple, les quaternions, introduits par William Rowan Hamilton, l'analyse vectorielle due à J. Willard Gibbs et les espaces à n dimensions de l'Allemand Hermann Günther Grassmann. La troisième étape décisive est le développement de la théorie des groupes, qui voit le jour dans les travaux de Lagrange. Galois, sur la base de ces travaux, fonde une théorie qui indique notamment quand une équation peut être résolue par radicaux. Comme Descartes l'avait fait avec l'algèbre de son temps, l'Allemand Christian Felix Klein et le Norvégien Sophus Lie utilisent celle du XIXe siècle pour étudier la géométrie. Klein donne ainsi une classification des géométries en fonction de leurs groupes de transformations (programme d'Erlangen). Lie procède à une étude géométrique des équations différentielles, au moyen de groupes continus de transformation appelés groupes de Lie. Au XXe siècle, l'algèbre s'applique également à une autre approche de la géométrie appelée topologie. Au XIXe siècle, les fondements des mathématiques sont bouleversés, en particulier par l'ouvrage de George Boole, Recherches sur les lois de la pensée (1854), et par la théorie des ensembles de Cantor. Cependant, vers la fin du XIXe siècle, on découvre une série de paradoxes dans la théorie de Cantor. Bertrand Russell met en évidence un paradoxe à propos de la notion d'ensemble. Les mathématiciens reformulent alors des théories des ensembles suffisamment restrictives pour éliminer ces paradoxes, mais la question reste ouverte de savoir si d'autres paradoxes ne surgiront pas de ces théories, c'est-à-dire de savoir si ces théories sont consistantes. Depuis, et jusqu'à ce jour, on n'a pu donner que des démonstrations de consistance relative, c'est-à-dire correspondant au schéma suivant : la théorie A est vérifiée si la théorie B l'est. Un résultat particulièrement troublant est démontré en 1931 par Kurt Gödel : dans tout système d'axiomes, il est possible de construire des propositions qui ne peuvent être démontrées. 5 MATHÉMATIQUES ACTUELLES David Hilbert, professeur à Göttingen, université où ont enseigné Gauss et Riemann, a apporté une contribution majeure à la plupart des domaines mathématiques, de ses classiques Fondements de la géométrie (1899) jusqu'à l'ouvrage collectif Méthodes de la physique mathématique. À Göttingen, Hilbert présente une étude de 23 problèmes mathématiques, dont il pense qu'ils guideront les travaux du XXe siècle. Ils stimuleront, de fait, une grande partie de la recherche mathématique du XXe siècle. S'il a ainsi fait considérablement avancer la recherche mathématique, Hilbert ne pouvait pas prévoir un événement qui semble devoir jouer un rôle essentiel dans le développement des mathématiques : l'invention de l'ordinateur numérique programmable. Bien que les origines de l'ordinateur remontent au XVIIe siècle, avec les calculateurs à engrenages de Pascal et de Leibniz, c'est au XIXe siècle que Charles Babbage, en Angleterre, conçoit une machine pouvant effectuer des calculs automatiquement au moyen d'un programme d'instructions enregistrées sur cartes ou sur bande. Mais la technique de l'époque ne permet pas le développement et la concrétisation de ses idées. Pour cela, il faudra l'invention du relais, puis celles du tube électronique et du transistor, éléments essentiels de la constitution des ordinateurs. Ceux-ci conduisent à reprendre l'étude de certains domaines mathématiques, tels que l'analyse numérique et les mathématiques des éléments finis ou à explorer de nouveaux domaines, tels que les algorithmes ou à approfondir des domaines aussi différents que la théorie des nombres, les équations différentielles et l'algèbre abstraite. L'ordinateur permet aussi de résoudre des problèmes tels que celui du coloriage d'une carte, énoncé pour la première fois au milieu du XIXe siècle. D'après cette conjecture, quatre couleurs suffisent pour colorer une carte quelconque, deux pays limitrophes devant avoir des couleurs différentes. Le théorème sera finalement démontré en 1976, au moyen d'un puissant ordinateur, à l'université de l'Illinois. Même si un grand nombre de problèmes importants ont été résolus, d'autres restent comme des défis, telle l'hypothèse de Riemann, et de nouveaux problèmes difficiles surgissent. Cependant, dans le monde moderne, les connaissances mathématiques progressent toujours plus vite. Des théories, auparavant distinctes, ont été unifiées dans des théories à la fois plus globales et plus abstraites, et les mathématiques les plus abstraites finissent aujourd'hui par trouver des applications. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.
