parallèle - mathématiques.

parallèle - mathématiques. 1 PRÉSENTATION parallèle (mathématiques), se dit de droites coplanaires ou de plans n'ayant aucun point commun ou étant en tous points confondus. 2 POSTULAT DES PARALLÈLES D'EUCLIDE Le terme de parallèle a été défini formellement pour la première fois par Euclide, mathématicien grec du IIIe siècle av. J.-C., dans son ouvrage les Éléments, synthétisant l'ensemble de la géométrie de l'époque. Euclide a ainsi mis en place et formalisé les fondements de la géométrie classique, dite, par la suite, géométrie euclidienne, en regroupant les définitions d'entités géométriques (droites, points, etc.), les formulations d'axiomes et de postulats. Le cinquième postulat, dit postulat des parallèles, le plus célèbre d'entre eux, stipule que par un point extérieur à une droite donnée D, on ne peut mener qu'une droite D' et une seule qui ne rencontre jamais la droite D ; cette droite D' est alors la parallèle de la droite D (notation : D // D'). Cette définition implique que deux droites parallèles sont équidistantes et ne se coupent jamais, ou bien qu'en tout point elles sont confondues ; ainsi toute droite est aussi sa propre parallèle. 3 EXTENSION ET GÉNÉRALISATION DE LA NOTION L'extension de la géométrie plane à un espace à trois dimensions a élargi la notion de parallélisme, des droites aux plans ; ainsi, deux plans sont dits parallèles s'ils n'ont aucun point commun ou bien s'ils sont en tout point confondus ; une droite est dite parallèle à un plan si cette droite est parallèle à une droite de ce plan. On peut généraliser la notion de parallèle aux courbes non rectilignes mais coplanaires : deux courbes sont parallèles si et seulement si toute droite normale (perpendiculaire) à l'une est normale à l'autre et si la distance entre les points d'intersection de cette normale aux deux courbes est constante ; par exemple, selon cette définition, deux cercles concentriques sont deux courbes parallèles. 4 ALTERNATIVES AU POSTULAT DES PARALLÈLES D'EUCLIDE Pendant vingt-deux siècles, les mathématiciens ont pensé pouvoir démontrer que le cinquième postulat d'Euclide résultait des autres postulats pour le classer parmi les théorèmes. L'insuccès de ces tentatives a abouti, au cours du XIXe siècle, à l'avènement de la géométrie non-euclidienne, développée notamment par les mathématiciens russe Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski, hongrois János Bolyai et allemand Georg Friedrich Bernhard Riemann, qui ont finalement remis en cause l'universalité du cinquième postulat d'Euclide. Ainsi la géométrie de Bolyai-Lobatchevski, souvent appelée géométrie hyperbolique, conserve les autres axiomes et postulats de la géométrie d'Euclide, mais remplace le cinquième postulat, par un axiome selon lequel par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une infinité de parallèles à cette droite. La géométrie de Riemann, ou géométrie riemanienne, dite encore géométrie elliptique, adopte pour cinquième postulat qu'il n'existe aucune parallèle à une droite passant par un point extérieur à celle-ci. 5 PARALLÈLE D'UNE SURFACE DE RÉVOLUTION On désigne par parallèle d'une surface de révolution toute section de cette surface par un plan perpendiculaire à l'axe de révolution de la surface. Ainsi les parallèles de la sphère terrestre, considérée comme une surface de révolution, dont l'axe de révolution est l'axe des pôles géographiques, sont les cercles perpendiculaires à l'axe des pôles, parallèles entre eux et à l'équateur. Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.