polynômes - mathématiques.

polynômes - mathématiques. 1 PRÉSENTATION polynômes, sommes algébriques de termes appelés monômes. Un monôme est une expression de la forme axn, où a est un coefficient numérique, n un entier naturel, et x une variable. Un polynôme peut contenir une ou plusieurs variables. Par exemple, x5 + 2x2 + 3,1 est un polynôme de la variable x, alors que x5y2 + 3x2 + xy + y a pour variables x et y. Le mot polynôme désigne en fait deux entités mathématiques distinctes : le polynôme formel et la fonction polynomiale. Cette dernière fournit la valeur prise par le polynôme lorsqu'on y remplace la variable x par une valeur numérique donnée. Le polynôme formel est, en revanche, une entité abstraite qui ne prend aucune valeur numérique particulière : dans ce cas, x est aussi appelée l'indéterminée du polynôme. L'étude préalable des polynômes formels permet de manipuler facilement les fonctions polynomiales associées. On peut écrire un polynôme P de façon littérale. En effet, pour tout polynôme P, il existe par définition une suite finie (ak) et un entier naturel n tels que : avec an ? 0. L'entier n est le degré du polynôme P. 2 OPÉRATIONS SUR LES POLYNÔMES 2.1 Addition La somme de deux polynômes s'effectue en additionnant les coefficients des termes polynomiaux de même degré. Considérons ainsi deux polynômes P et Q, de degrés respectifs p et q, et s'écrivant : On suppose p >= q. Alors, la somme de P et Q est le polynôme : Par exemple, si P = 3x3 + 2x2 + x et Q = x2 + x + 1, alors P + Q = 3x3 + 3x2 + 2x + 1. 2.2 Multiplication Pour effectuer le produit de deux polynômes P et Q, on applique le principe consistant à multiplier chacun des termes de P par chacun des termes de Q. Ainsi, si P = 3x3 + 2x2 + x et Q = x2 + x + 1, alors PQ = 3x3 (x2 + x + 1) + 2x2 (x2 + x + 1) +x (x2 + x + 1), soit PQ = 3x5 + 3x4 + 3x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 +x3 + x2 + x. À la suite de ces opérations, tous les termes de même degré doivent être regroupés afin de simplifier l'expression : PQ = 3x5 + 5x4 + 6x3 + 3x2 + x. 2.3 Factorisation d'un polynôme Il est souvent utile de factoriser un polynôme, c'est-à-dire de l'exprimer sous forme d'un produit de polynômes de degrés inférieurs. Par exemple, 2x3 + 8x2y peut être factorisé en 2x2 (x + 4y). Un polynôme qui ne peut être factorisé en polynômes à coefficients réels (voir nombres) est appelé polynôme premier. Par exemple, x2 + x + 1 est un polynôme premier. 3 STRUCTURE DE L'ENSEMBLE DES POLYNÔMES L'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients réels est noté [x]. De la même manière, [x] symbolise l'ensemble des polynômes à une indéterminée et à coefficients complexes (voir complexes, nombres). On démontre que l'ensemble des polynômes à une variable et muni des opérations addition et multiplication est un anneau commutatif. Si l'ensemble des coefficients est un corps commutatif, ce qui est le cas de et de , l'ensemble des polynômes muni des deux opérations précédentes est un espace vectoriel (voir linéaire, algèbre). Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Tous droits réservés.